Найдите корень уравнения:
\(\displaystyle \frac{x-8}{7x-2}=\frac{x-8}{6x-7}{\small .}\)
\(\displaystyle x=\)
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
Для того чтобы решить рациональное уравнение
\(\displaystyle \frac{x-8}{7x-2}=\frac{x-8}{6x-7}\)
- перенесем все члены уравнения в левую часть,
- и приведем к общему знаменателю.
Общий знаменатель равен произведению знаменателей \(\displaystyle (7x-2)(6x-7){\small .}\) Тогда получаем:
\(\displaystyle \frac{x-8}{\color{green}{ 7x-2}}-\frac{x-8}{\color{blue}{ 6x-7}}=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{(x-8)\color{blue}{(6x-7)}}{(7x-2)\color{blue}{(6x-7)}}-\frac{(x-8)\color{green}{(7x-2)}}{(6x-7)\color{green}{(7x-2)}}=0{ \small .}\)
Или, переходя к одному знаменателю,
\(\displaystyle \frac{(x-8)\color{blue}{(6x-7)}-(x-8)\color{green}{(7x-2)}}{\color{green}{(7x-2)}\color{blue}{(6x-7)}}=0{ \small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе
\(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Таким образом, уравнение
\(\displaystyle \frac{(x-8)(6x-7)-(x-8)(7x-2)}{(7x-2)(6x-7)}=0\)
равносильно системе
\(\displaystyle \begin{cases} (x-8)(6x-7)-(x-8)(7x-2)=0{\small , } \\ (7x-2)(6x-7)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Решим первое уравнение
\(\displaystyle (x-8)(6x-7)-(x-8)(7x-2)=0{\small .}\)
Вынесем \(\displaystyle (x-8)\) за скобки:
\(\displaystyle (x-8)\left((6x-7)-(7x-2)\right)=0{\small .}\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Следовательно,
либо \(\displaystyle x-8=0{ \small ,}\) то есть \(\displaystyle x=8{ \small ,}\)
либо \(\displaystyle (6x-7)-(7x-2)=0{ \small ,}\) то есть
\(\displaystyle 6x-7-7x+2=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle -x-5=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle x=-5{\small .}\)
С другой стороны,
\(\displaystyle (7x-2)(6x-7)\,\cancel{=}\,0{ \small ,}\)
\(\displaystyle 7x-2\, \cancel{=}\, 0\) и \(\displaystyle 6x-7\, \cancel{=}\, 0{ \small ,}\)
\(\displaystyle x\, \cancel{=} \, \frac{2}{7}\) и \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, \frac{7}{6}{\small .}\)
Так как
\(\displaystyle 8\, \cancel{=} \, \frac{2}{7}{ \small ,}\) \(\displaystyle 8\, \cancel{=}\, \frac{7}{6}{ \small ,}\)
и
\(\displaystyle -5\, \cancel{=} \, \frac{2}{7}{ \small ,}\) \(\displaystyle -5\, \cancel{=}\, \frac{7}{6}{ \small ,}\)
то \(\displaystyle x=8\) и \(\displaystyle x=-5\) являются решениями уравнения.
В ответ записываем больший из них – это \(\displaystyle 8{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 8{\small .}\)