Skip to main content

Теория: 04 Рациональные уравнения (в стадии наполнения)

Задание

Найдите корень уравнения:

\(\displaystyle \frac{x-8}{7x-2}=\frac{x-8}{6x-7}{\small .}\)

\(\displaystyle x=\)

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Решение

Для того чтобы решить рациональное уравнение

\(\displaystyle \frac{x-8}{7x-2}=\frac{x-8}{6x-7}\)

    • перенесем все члены уравнения в левую часть,
    • и приведем к общему знаменателю.

        Общий знаменатель равен произведению знаменателей \(\displaystyle (7x-2)(6x-7){\small .}\) Тогда получаем:

        \(\displaystyle \frac{x-8}{\color{green}{ 7x-2}}-\frac{x-8}{\color{blue}{ 6x-7}}=0{ \small ,}\)

        \(\displaystyle \frac{(x-8)\color{blue}{(6x-7)}}{(7x-2)\color{blue}{(6x-7)}}-\frac{(x-8)\color{green}{(7x-2)}}{(6x-7)\color{green}{(7x-2)}}=0{ \small .}\)

        Или, переходя к одному знаменателю,

        \(\displaystyle \frac{(x-8)\color{blue}{(6x-7)}-(x-8)\color{green}{(7x-2)}}{\color{green}{(7x-2)}\color{blue}{(6x-7)}}=0{ \small .}\)

        Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе 

        \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

        Таким образом, уравнение

        \(\displaystyle \frac{(x-8)(6x-7)-(x-8)(7x-2)}{(7x-2)(6x-7)}=0\)

        равносильно системе

        \(\displaystyle \begin{cases} (x-8)(6x-7)-(x-8)(7x-2)=0{\small , } \\ (7x-2)(6x-7)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

        Решим первое уравнение

        \(\displaystyle (x-8)(6x-7)-(x-8)(7x-2)=0{\small .}\)

        Вынесем \(\displaystyle (x-8)\) за скобки:

        \(\displaystyle (x-8)\left((6x-7)-(7x-2)\right)=0{\small .}\)

        Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Следовательно,

        либо \(\displaystyle x-8=0{ \small ,}\) то есть \(\displaystyle x=8{ \small ,}\)

        либо \(\displaystyle (6x-7)-(7x-2)=0{ \small ,}\) то есть

        \(\displaystyle 6x-7-7x+2=0{ \small ,}\)

        \(\displaystyle -x-5=0{ \small ,}\)

        \(\displaystyle x=-5{\small .}\)

        С другой стороны,

        \(\displaystyle (7x-2)(6x-7)\,\cancel{=}\,0{ \small ,}\)

        \(\displaystyle 7x-2\, \cancel{=}\, 0\) и \(\displaystyle 6x-7\, \cancel{=}\, 0{ \small ,}\)

        \(\displaystyle x\, \cancel{=} \, \frac{2}{7}\) и \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, \frac{7}{6}{\small .}\)

        Так как

        \(\displaystyle 8\, \cancel{=} \, \frac{2}{7}{ \small ,}\)  \(\displaystyle 8\, \cancel{=}\, \frac{7}{6}{ \small ,}\)

        и

        \(\displaystyle -5\, \cancel{=} \, \frac{2}{7}{ \small ,}\)  \(\displaystyle -5\, \cancel{=}\, \frac{7}{6}{ \small ,}\)

        то \(\displaystyle x=8\) и \(\displaystyle x=-5\) являются решениями уравнения.

        В ответ записываем больший из них – это \(\displaystyle 8{\small .}\)


        Ответ: \(\displaystyle 8{\small .}\)