Решите неравенство:
\(\displaystyle x^2+4x+4> 0{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Вычислим дискриминант многочлена \(\displaystyle x^2+4x+4{\small .}\) Получаем:
\(\displaystyle {\rm D}=4^2-4\cdot 4=0{\small .}\)
Равенство дискриминанта нулю означает, что многочлен \(\displaystyle x^2+4x+4\) является полным квадратом.
Перепишем выражение \(\displaystyle x^2+4x+4\) в виде полного квадрата:
\(\displaystyle \color{green}{x}^2+2\cdot \color{blue}{2}\cdot \color{green}{x}+\color{blue}{ 2}^2{ \small ,}\)
\(\displaystyle (\color{green}{x}+\color{blue}{2})^2{\small .}\)
Следовательно, неравенство
\(\displaystyle x^2+4x+4> 0\)
можно переписать как
\(\displaystyle (x+2)^2> 0{\small .}\)
Решим это неравенство.
Поскольку \(\displaystyle (x+2)^2 \) – полный квадрат, то
\(\displaystyle (x+2)^2\ge 0 \) для любого числа \(\displaystyle x{\small .}\)
И поскольку нужно, чтобы \(\displaystyle (x+2)^2>0{ \small ,}\) то это означает, что не подходят те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle (x+2)^2 =0{\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle (x+2)^2\,\cancel{=}\,0{ \small ,}\)
\(\displaystyle x+2\,\cancel{=}\,0{ \small ,}\)
\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,-2{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;-2)\cup (-2;+\infty){\small .} \)