Skip to main content

Теория: Особые случаи, элементарные неравенства

Задание

Выделите полный квадрат и решите неравенство:

\(\displaystyle x^2-14x+50< 0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Многочлен \(\displaystyle x^2-14x+50\) нельзя разложить на множители (над действительными числами), так как его дискриминант \(\displaystyle {\rm D}=(-14)^2-4\cdot 50<0{\small .}\)

Поэтому выделим полный квадрат в выражении \(\displaystyle x^2-14x+50{\small .}\)

Перепишем выражение так, чтобы выделить квадрат и удвоенное произведение:

\(\displaystyle \color{green}{x}^2-2\cdot \color{blue}{1}\cdot \color{green}{x}+50{ \small ,}\)

\(\displaystyle \color{green}{x}^2-2\cdot \color{blue}{7}\cdot \color{green}{x}+\color{blue}{7}^2-\color{blue}{7}^2+50{ \small ,}\)

\(\displaystyle (\color{green}{x}-\color{blue}{1})^2+1{\small .}\)

Следовательно, неравенство

\(\displaystyle x^2-14x+50< 0\)

можно переписать как

\(\displaystyle (x-7)^2+1< 0{\small .}\)

Так как \(\displaystyle (x-7)^2 \ge 0\) для всех \(\displaystyle x{ \small ,}\) то \(\displaystyle (x-7)^2+1> 0\) для всех \(\displaystyle x{\small .}\) Поэтому неравенство \(\displaystyle (x-7)^2+1< 0\) не имеет решений.

Ответ: \(\displaystyle x \in \{\varnothing\}{\small .}\)