Решите неравенство:
\(\displaystyle x^2-6x+9\le 0{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Вычислим дискриминант многочлена \(\displaystyle x^2-6x+9{\small .}\) Получаем:
\(\displaystyle {\rm D}=(-6)^2-4\cdot 9=0{\small .}\)
Равенство дискриминанта нулю означает, что многочлен \(\displaystyle x^2-6x+9\) является полным квадратом.
Перепишем выражение \(\displaystyle x^2-6x+9\) в виде полного квадрата:
\(\displaystyle \color{green}{x}^2-2\cdot \color{blue}{3}\cdot \color{green}{x}+\color{blue}{ 3}^2{ \small ,}\)
\(\displaystyle (\color{green}{x}-\color{blue}{3})^2{\small .}\)
Следовательно, неравенство
\(\displaystyle x^2-6x+9\le 0\)
можно переписать как
\(\displaystyle (x-3)^2\le 0{\small .}\)
Решим это неравенство.
Поскольку \(\displaystyle (x-3)^2 \) – полный квадрат, то
\(\displaystyle (x-3)^2\ge 0 \) для любого числа \(\displaystyle x{\small .}\)
Перепишем последнее неравенство:
для любого числа \(\displaystyle x\) либо \(\displaystyle (x-3)^2>0{ \small ,}\) либо \(\displaystyle (x-3)^2=0{ \small .}\)
Рассмотрим каждый случай:
- те \(\displaystyle x {\small ,}\) для которых \(\displaystyle (x-3)^2>0{ \small ,}\) не являются решениями неравенства \(\displaystyle (x-3)^2\le 0{ \small ;}\)
- те \(\displaystyle x{ \small ,}\) для которых \(\displaystyle (x-3)^2=0{ \small ,}\) являются решениями неравенства \(\displaystyle (x-3)^2\le 0{ \small .}\)
Решим уравнение \(\displaystyle (x-3)^2=0{ \small :}\)
\(\displaystyle (x-3)^2=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle x-3=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle x=3{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x\in \{3\}{\small .} \)