Теория: 07 Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов(не более трёх интервалов)

Найдем корни знаменателя \(\displaystyle (x-4)(x-5){\small : } \)

\(\displaystyle (x-4)(x-5) =0 { \small ,}\)

\(\displaystyle x-4=0 \) или \(\displaystyle x-5=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x=4 \) или \(\displaystyle x=5{\small .} \)

Поскольку знак неравенства нестрогий, то 

• все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
• все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.

Так как \(\displaystyle x=4\) и \(\displaystyle x=5\) обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются выколотыми точками:

Получили три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;4){ \small ,} \, (4;5)\) и \(\displaystyle (5;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{ 1}{ (x-4)(x-5) }\) на каждом из интервалов.
 

• Для интервала \(\displaystyle (-\infty;4)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\) 
  \(\displaystyle f(0)=\frac{ 1}{ (0-4)(0-5) }>0{\small .}\)
  Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;4){\small.}\)
   
• Для интервала \(\displaystyle (4;5)\) выберем \(\displaystyle x=4{,}5{\small :}\) 
  \(\displaystyle f(4{,}5)=\frac{ 1}{ (4{,}5-4)(4{,}5-5) }<0{\small .}\)
  Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (4;5){\small .}\)
   
• Для интервала \(\displaystyle (5;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=10{\small :}\) 

  \(\displaystyle f(10)=\frac{ 1}{ (10-4)(10-5) }>0{\small .}\)

  Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (5;+\infty){\small .}\)

В итоге получаем:

Так как решения неравенства  \(\displaystyle \frac{ 1}{ (x-4)(x-5) }\geqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, и включают невыколотые граничные точки (а таких точек в данном случае нет), то

\(\displaystyle (-\infty;4)\cup(5;+\infty)\) – искомое решение.

Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;4)\cup(5;+\infty){\small .}\)