Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{ 1}{ x^2-4x+4}< 0 \)
\(\displaystyle x \in \)
Найдем корни знаменателя. Для этого решим квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-4x+4=0{\small .}\)
Знак неравенства строгий, поэтому точка на числовой прямой изображается выколотой:
Получили два интервала:
\(\displaystyle (-\infty;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2-4x+4}\) на каждом из интервалов.
Для упрощения вычислений при нахождении знаков разложим знаменатель дроби на множители, используя найденные корни.
То есть
\(\displaystyle x^2-4x+4=(x-2)(x-2)=(x-2)^2.\)
Перепишем исходное неравенство в виде:
\(\displaystyle \frac{ 1}{ (x-2)^2 }< 0 .\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{ (x-2)^2 }\) на каждом из интервалов.
- Для интервала \(\displaystyle (-\infty;2)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\)\(\displaystyle f(0)=\frac{1}{ (0-2)^2 }>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;2){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (2;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4{\small :}\)\(\displaystyle f(4)=\frac{1}{ (4-2)^2 }>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)
В итоге получаем:
Решения неравенства \(\displaystyle \frac{1}{ (x-2)^2 }< 0\) соответствуют промежуткам, где функция отрицательна. Однако таких промежутков в данном случае нет, то есть
\(\displaystyle \varnothing\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in \varnothing{\small .}\)