Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{1}{ (x-3)^2 }\ge 0 \)
\(\displaystyle x \in \)
Найдем корни знаменателя \(\displaystyle (x-3)^2{\small : } \)
\(\displaystyle (x-3)^2{\small , } \)
\(\displaystyle x-3=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=3{\small .} \)
Поскольку знак неравенства нестрогий, то
- все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.
Так как \(\displaystyle x=3\) обращает в ноль знаменатель, то она обозначается выколотой:
Получили два интервала:
\(\displaystyle (-\infty;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{ (x-3)^2 }\) на каждом из интервалов.
- Для интервала \(\displaystyle (-\infty;3)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\)\(\displaystyle f(0)=\frac{1}{ (0-3)^2 }>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;3){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4{\small :}\)\(\displaystyle f(4)=\frac{1}{ (4-3)^2 }>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
В итоге получаем:
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{1}{ (x-3)^2 }\ge 0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, и невыколотым точкам, являющимся концами промежутков (в данном случае таких точек нет), то
\(\displaystyle (-\infty;3) \cup(3;+\infty)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;3) \cup(3;+\infty){\small .}\)