Теория: 07 Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов(не более трёх интервалов)

Найдем корни числителя \(\displaystyle x-2 \) и знаменателя \(\displaystyle x-2{\small : } \)

\(\displaystyle x-2=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x=2{\small .} \)

Знак неравенства строгий, поэтому точка корня числителя и знаменателя на числовой прямой изображается выколотой:

Получили два интервала:

\(\displaystyle (-\infty;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x-2}\) на каждом из интервалов.
 

• Для интервала \(\displaystyle (-\infty;2)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\) 
  \(\displaystyle f(0)=\frac{0-2}{0-2}>0{\small .}\)
  Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;2){\small .}\)
   
• Для интервала \(\displaystyle (2;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4{\small :}\) 
  \(\displaystyle f(4)=\frac{4-2}{4-2}>0{\small .}\)
  Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)

В итоге получаем:

Так как решения неравенства  \(\displaystyle \frac{ x-2}{ x-2 }> 0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, то

\(\displaystyle (-\infty;2) \cup(2;+\infty)\) – искомое решение.

Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;2) \cup(2;+\infty){\small .}\)