Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{x^2-6x+9}{x^2-5x+4}\geqslant 0{\small .} \)
\(\displaystyle x \in \)
Найдем корни числителя \(\displaystyle x^2-6x+9 \) и знаменателя \(\displaystyle x^2-5x+4{\small : } \)
- решим уравнение \(\displaystyle x^2-6x+9=0{\small : } \)
- решим уравнение \(\displaystyle x^2-5x+4=0{\small : } \)
Поскольку знак неравенства нестрогий, то
- все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.
Так как \(\displaystyle x=3 \) обращает в ноль числитель и не обращает в ноль знаменатель, то он обозначается закрашенным. Поскольку \(\displaystyle x=1 \) и \(\displaystyle x=4 \) обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются выколотыми:
Получили четыре интервала:
\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;3){ \small ,} \, (3;4)\) и \(\displaystyle (4;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-6x+9}{(x-1)(x-4)}\) на каждом из интервалов.
Для упрощения вычислений при нахождении знаков разложим числитель и знаменатель дроби на множители, используя найденные корни.
То есть
\(\displaystyle x^2-6x+9=(x-3)(x-3)=(x-3)^2{ \small ,}\)
\(\displaystyle x^2-5x+4=(x-1)(x-4){\small .}\)
Перепишем исходное неравенство в виде
\(\displaystyle \frac{(x-3)^2}{(x-1)(x-4)}\geqslant 0{\small .} \)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)^2}{(x-1)(x-4)}\) на каждом из интервалов.
- Для интервала \(\displaystyle (-\infty;1)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\)\(\displaystyle f(0)=\frac{(0-3)^2}{(0-1)(0-4)}=\frac{(-3)^2}{-1\cdot(-4)}>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;1){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (1;3)\) выберем \(\displaystyle x=2{\small :}\)\(\displaystyle f(2)=\frac{(2-3)^2}{(2-1)(2-4)}=\frac{(-1)^2}{1\cdot(-2)}<0{\small .}\)Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (1;3){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (3;4)\) выберем \(\displaystyle x=3{,}5{\small :}\)\(\displaystyle f(3{,}5)=\frac{(3{,}5-3)^2}{(3{,}5-1)(3{,}5-4)}=\frac{0{,}5^2}{2{,}5\cdot(-0{,}5)}<0{\small .}\)Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (3;4){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (4;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=5{\small :}\)\(\displaystyle f(5)=\frac{(5-3)^2}{(5-1)(5-4)}=\frac{2^2}{4\cdot1}>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (4;+\infty){\small .}\)
В итоге получаем:
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{(x-3)^2}{(x-1)(x-4)}\geqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, и включают граничные невыколотые точки , то
\(\displaystyle (-\infty;1)\cup\{3\}\cup (4;+\infty)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;1)\cup\{3\}\cup(4;+\infty){\small .}\)