Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{ x-3}{ (x-1)^2}\leqslant 0{\small .} \)
\(\displaystyle x \in \)
Найдем корни числителя \(\displaystyle x-3 \) и знаменателя \(\displaystyle (x-1)^2{\small : } \)
\(\displaystyle x-3=0 \) или \(\displaystyle (x-1)^2=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=3 \) или \(\displaystyle x-1=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=3 \) или \(\displaystyle x=1{\small .} \)
Поскольку знак неравенства нестрогий, то
- все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.
Так как \(\displaystyle x=3\) обращает в ноль числитель и не обращает в ноль знаменатель, то она обозначается закрашенной. Поскольку \(\displaystyle x=1 \) обращает в ноль знаменатель, то она обозначается выколотой:
Получили три интервала:
\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{ x-3}{ (x-1)^2}\) на каждом из интервалов.
- Для интервала \(\displaystyle (-\infty;1)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\)\(\displaystyle f(0)=\frac{ 0-3}{ (0-1)^2}<0{\small .}\)Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (-\infty;1){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (1;3)\) выберем \(\displaystyle x=2{\small :}\)\(\displaystyle f(2)=\frac{ 2-3}{ (2-1)^2}<0{\small .}\)Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (1;3){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4{\small :}\)\(\displaystyle f(4)=\frac{ 4-3}{ (4-1)^2}>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
В итоге получаем:
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{ x-3}{ (x-1)^2}\leqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция отрицательна, и включают граничные невыколотые точки, то
\(\displaystyle (-\infty;1) \cup (1;3]\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;1) \cup (1;3]{\small .}\)