Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{ x-3}{ (x-1)(x-2) }\geqslant 0{\small .} \)
\(\displaystyle x \in \)
Найдем корни числителя \(\displaystyle x-3 \) и знаменателя \(\displaystyle (x-1)(x-2){\small : } \)
\(\displaystyle x-3=0 \) или \(\displaystyle (x-1)(x-2)=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=3\) или \(\displaystyle x-1=0, \,x-2=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=3 \) или \(\displaystyle x=1, \,x=2{\small .} \)
Поскольку знак неравенства нестрогий, то
- все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.
Так как \(\displaystyle x=3\) обращает в ноль числитель и не обращает в ноль знаменатель, то она обозначается закрашенной. Поскольку \(\displaystyle x=1 \) и \(\displaystyle x=2 \) обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются выколотыми:
Получили четыре интервала:
\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;2){ \small ,} \, (2;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{(x-1)(x-2)}\) на каждом из интервалов.
- Для интервала \(\displaystyle (-\infty;1)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\)\(\displaystyle f(0)=\frac{0-3}{(0-1)(0-2)}=\frac{-3}{-1\cdot(-2)}<0{\small .}\)Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (-\infty;1){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (1;2)\) выберем \(\displaystyle x=1{,}5{\small :}\)\(\displaystyle f(1{,}5)=\frac{1{,}5-3}{(1{,}5-1)(1{,}5-2)}=\frac{-1{,}5}{0{,}5\cdot(-0{,}5)}>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (1;2){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (2;3)\) выберем \(\displaystyle x=2{,}5{\small :}\)\(\displaystyle f(2{,}5)=\frac{2{,}5-3}{(2{,}5-1)(2{,}5-2)}=\frac{-0{,}5}{1{,}5\cdot0{,}5}<0{\small .}\)Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (2;3){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4{\small :}\)\(\displaystyle f(4)=\frac{4-3}{(4-1)(4-2)}=\frac{1}{3\cdot2}>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small :}\)
В итоге получаем:
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{ x-3}{ (x-1)(x-2) }\geqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, и включают граничные невыколотые точки , то
\(\displaystyle (1;2)\cup[3;+\infty)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (1;2)\cup[3;+\infty){\small .}\)