Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{ (x-2)^2}{ x-1}\leqslant 0{\small .} \)
\(\displaystyle x \in \)
Найдем корни числителя \(\displaystyle (x-2)^2 \) и знаменателя \(\displaystyle x-1{\small : } \)
\(\displaystyle (x-2)^2=0 \) или \(\displaystyle x-1=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x-2=0 \) или \(\displaystyle x=1{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=2 \) или \(\displaystyle x=1{\small .} \)
Поскольку знак неравенства нестрогий, то
- все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.
Так как \(\displaystyle x=2\) обращает в ноль числитель и не обращает в ноль знаменатель, то она обозначается закрашенной. Поскольку \(\displaystyle x=1 \) обращает в ноль знаменатель, то она обозначается выколотой:
Получили три интервала:
\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{ (x-2)^2}{ x-1}\) на каждом из интервалов.
- Для интервала \(\displaystyle (-\infty;1)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\)\(\displaystyle f(0)=\frac{ (0-2)^2}{0-1}<0{\small .}\)Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (-\infty;1){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (1;2)\) выберем \(\displaystyle x=1{,}5{\small :}\)\(\displaystyle f(1{,}5)=\frac{ (1{,}5-2)^2}{ 1{,}5-1}>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (1;2){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (2;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4{\small :}\)\(\displaystyle f(4)=\frac{ (4-2)^2}{ 4-1}>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)
В итоге получаем:
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{ (x-2)^2}{ x-1}\leqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция отрицательна, и включают граничные невыколотые точки, то
\(\displaystyle (-\infty;1) \cup \{2\}\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;1) \cup \{2\}{\small .}\)