Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{ x^2-4x+7}{ x-4 }\geqslant 0{\small .} \)
\(\displaystyle x \in \)
Найдем корни числителя \(\displaystyle x^2-4x+7 \) и знаменателя \(\displaystyle x-4{\small : } \)
- решим уравнение \(\displaystyle x^2-4x+7=0{\small : } \)
- решим уравнение \(\displaystyle x-4=0{\small : } \)
\(\displaystyle x=4{\small.} \)
Поскольку знак неравенства нестрогий, то
- все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.
Числитель нулей не имеет. Поскольку \(\displaystyle x=4 \) обращает в ноль знаменатель, то она обозначается выколотой:
Получили два интервала:
\(\displaystyle (-\infty;4)\) и \(\displaystyle (4;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4x+7}{x-4}\) на каждом из интервалов.
- Для интервала \(\displaystyle (-\infty;4)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\)\(\displaystyle f(0)=\frac{0^2-4\cdot 0+7}{0-4}=\frac{7}{-4}<0{\small .}\)Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (-\infty;4){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (4;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=5{\small :}\)\(\displaystyle f(5)=\frac{5^2-4\cdot5+7}{5-4}=\frac{12}{1}>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (4;+\infty){\small .}\)
В итоге получаем:
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{x^2-4x+7}{x-4}\geqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, и включают граничные невыколотые точки (в данном случае таких точек нет), то
\(\displaystyle (4;+\infty)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (4;+\infty){\small .}\)