Существует ли геометрическая прогрессия с первым членом \(\displaystyle b_1 = 10{ \small }\) и пятым членом \(\displaystyle b_5 = 160{\small ?}\) Если такой прогрессии не существует, то оставьте ячейку ввода пустой. Если такая прогрессия существует, то введите в поле ответа наименьшее возможное значение знаменателя прогрессии.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии
Формула \(\displaystyle n \)-го члена геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_\color{red}{ n}=b_1\cdot q^{\color{red}{ n}-1}{ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.
Запишем \(\displaystyle b_5\) по формуле:
\(\displaystyle b_\color{red}{5} = b_1 \cdot q^{\color{red}{5}-1}{\small ,}\)
\(\displaystyle b_5=b_1\cdot q^4{\small .} \)
По условию \(\displaystyle b_1=10 \) и \(\displaystyle b_5=160{ \small ,} \) тогда
\(\displaystyle 160=10\cdot q^4\small,\)
\(\displaystyle q^4= \frac{ 160}{ 10 }{ \small ,}\)
\(\displaystyle q^4= 16{ \small ,}\)
\(\displaystyle q=2 \) или \(\displaystyle q=-2{\small .} \)
Значит, прогрессии с первым членом \(\displaystyle b_1=10 \) и знаменателями \(\displaystyle q=2 \) и \(\displaystyle q=-2{\small } \) содержат пятый член \(\displaystyle b_5=160{ \small .} \)
В ответ запишем наименьшее из найденных значений знаменателя \(\displaystyle -2{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle -2{\small .}\)