Известно, что первый член геометрической прогрессии равен \(\displaystyle 2\small.\) А знаменатель равен \(\displaystyle q\small.\) Выпишите первые четыре члена геометрической прогрессии.
В геометрической прогрессии каждый член получается из предыдущего умножением на знаменатель.
По условию первый член \(\displaystyle b_1=2\) и знаменатель \(\displaystyle q\small.\) Тогда члены этой геометрической прогрессии:
- \(\displaystyle b_1=2\small,\)
- \(\displaystyle b_2=2\cdot q=2q\small,\)
- \(\displaystyle b_3=2q\cdot q=2q^2\small,\)
- \(\displaystyle b_4=2q^2\cdot q=2q^3\small.\)
Получаем геометрическую прогрессию:
\(\displaystyle 2,\,2q,\,2q^2,\,2q^3,\,\ldots\)
Сравним в полученной записи \(\displaystyle 2,\,2q,\,2q^2,\,2q^3,\,\ldots\) номер элемента прогрессии и степень, в которую возводится \(\displaystyle q {\small :}\)
Видим, что номер элемента всегда на единицу больше, чем степень, в которую возводится \(\displaystyle q{\small .} \)
Тогда, и это можно доказать, \(\displaystyle \color{red}{ n}\!\)-ый член данной геометрической прогрессии равен
\(\displaystyle b_\color{red}{ n}=2 q^{\color{red}{ n}-1}{ \small .} \)