Заметим формулы сокращенного умножения:
\(\displaystyle\overset{\color{red}{\text разность\ кубов}}{\color{blue}{(4x-5)(16x^2+20x+25)}}+\overset{\color{red}{\text куб \ разности}}{\color{green}{(5-4x)^3}}-60 \cdot\overset{\color{red}{\text квадрат\ разности}}{\color{magenta}{(2x-3)^2}}{\small.}\)
Применим формулу разности кубов: \(\displaystyle (4x-5)(16x^2+20x+25)=64x^3-125{\small.}\)
Запишем произведение в виде:
\(\displaystyle (4x-5)(16x^2+20x+25)=(4x-5)\big((4x)^2+4x \cdot 5+5^2\big){\small.}\)
Воспользуемся формулой:
ПравилоРазность кубов
Для любых чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) верно
\(\displaystyle a^{\,3}-b^{\,3}=(a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2}){\small.}\)
В нашем случае \(\displaystyle a=\color{RoyalBlue}{4x} {\small,}\) \(\displaystyle b=\color{pink}{5}{\small.}\) Получаем:
\(\displaystyle (\color{RoyalBlue}{4x}-\color{pink}{5})\big((\color{RoyalBlue}{4x})^2+\color{RoyalBlue}{4x} \cdot \color{pink}{5}+\color{pink}{5}^2\big)=(\color{RoyalBlue}{4x})^3-\color{pink}{5}^3=64x^3-125{\small.}\)
Применим формулу куба разности: \(\displaystyle (5-4x)^3=125-300x+240x^2-64x^3{\small.}\)
ПравилоКуб разности
Для любых чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) верно
\(\displaystyle (a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}{\small.}\)
В нашем случае \(\displaystyle a=\color{magenta}{5} {\small,}\) \(\displaystyle b=\color{orange}{4x}{\small.}\) Получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}(\color{magenta}{5}-\color{orange}{4x})^3&=\color{magenta}{5}^3-3\cdot \color{magenta}{5}^2 \cdot \color{orange}{4x}+3\cdot \color{magenta}{5}\cdot (\color{orange}{4x})^2-(\color{orange}{4x})^3=\\&=125-300x+240x^2-64x^3{\small.}\end{aligned}\)
Применим формулу квадрата разности:\(\displaystyle (2x-3)^2=4x^2-12x+9{\small.}\)
ПравилоКвадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) верно
\(\displaystyle (a-b)^{\,2}=a\,^2-2ab+b\,^2{\small.}\)
В нашем случае \(\displaystyle a=\color{blue}{2x}{\small,}\) \(\displaystyle b=\color{brown}{3}{\small.}\) Получаем:
\(\displaystyle (\color{blue}{2x}-\color{brown}{3})^2=(\color{blue}{2x})^2-2\cdot\color{blue}{2x}\cdot\color{brown}{3}+\color{brown}{3}^2=4x^2-12x+9{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}&\color{blue}{(4x-5)(16x^2+20x+25)}+\color{green}{(5-4x)^3}-60 \cdot \color{magenta}{(2x-3)^2}=\\&=(\color{blue}{64x^3-125})+(\color{green}{125-300x+240x^2-64x^3})-60 \cdot(\color{magenta}{4x^2-12x+9}){\small.}\end{aligned}\)
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
\(\displaystyle \begin{aligned}&(64x^3-125)+(125-300x+240x^2-64x^3)-60 \cdot(4x^2-12x+9)=\\&=64x^3-125+125-300x+240x^2-64x^3-240x^2+720x-540=\\&=\color{purple}{\cancel{64x^3}}-\color{orange}{\cancel{125}}+\color{orange}{\cancel{125}}-\color{magenta}{300x}+\color{darkcyan}{\cancel{240x^2}}-\color{purple}{\cancel{64x^3}}-\color{darkcyan}{\cancel{240x^2}}+\color{magenta}{720x}-\color{orange}{540}=\\&=\color{magenta}{420x}-\color{orange}{540}{\small.}\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle 420x-540{\small.}\)