Решите двойное неравенство
\(\displaystyle -7<6-x< 17{\small.}\)
\(\displaystyle x\in\)
Запишем данное двойное неравенство в виде системы неравенств:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}6-x& > -7{ \small ,}\\6-x&< 17{\small .}\end{aligned}\right.\)
Преобразуем каждое из линейных неравенств в данной системе к простейшему виду.
Перенесем все неизвестные влево, а числа вправо:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-x& > -7-6{ \small ,}\\-x&< 17-6{\small ;}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-x& > -13{ \small ,}\\-x&< 11{\small ;}\end{aligned}\right.\)
Разделим обе части каждого из неравенств на коэффициент при \(\displaystyle x{\small .} \)
При этом в случае деления на отрицательное число поменяем знак неравенства на противоположный:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-x& > -13\,|:\color{blue}{( -1)<0}\\-x&< 11 \,\,\,|:\color{blue}{( -1)<0}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&<13{ \small ,}\\x&>-11{\small .}\end{aligned}\right.\)
Изобразим решения полученной системы простейших линейных неравенств на числовой прямой.
Их пересечение и будет решением исходной системы.
Сначала изобразим множеству точек, соответствующее неравенству \(\displaystyle x<13{\small :}\)
Здесь же изобразим множеству точек, соответствующее неравенству \(\displaystyle x>-11{\small :}\)
Видим, что пересечение данных промежутков – промежуток \(\displaystyle (-11;13){\small .} \)
То есть решением системы, а значит, и двойного неравенства является интервал \(\displaystyle (-11;13){\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-11;13){\small .} \)