При каких значениях \(\displaystyle x\) значения выражения
\(\displaystyle 2x-3\)
принадлежат промежутку \(\displaystyle (-7;17){\small?}\)
При \(\displaystyle x \in \)
Значения выражения \(\displaystyle 2x-3\) должны принадлежать промежутку \(\displaystyle (-7;17){\small.}\)
Это означает, что должно выполняться двойное неравенство
\(\displaystyle -7<2x-3< 17{\small.}\)
Решим его.
\(\displaystyle (-2;10)\) – решение двойного неравенства \(\displaystyle -7<2x-3< 17{\small.}\)
Запишем данное двойное неравенство в виде системы неравенств:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-3& > -7{ \small ,}\\2x-3&< 17{\small .}\end{aligned}\right.\)
Преобразуем каждое из линейных неравенств в данной системе к простейшему виду.
Перенесем все неизвестные влево, а числа вправо:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x& > -7+3{ \small ,}\\2x&< 17+3{\small ;}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x& > -4{ \small ,}\\2x&< 20{\small ;}\end{aligned}\right.\)
Разделим обе части каждого из неравенств на коэффициент при \(\displaystyle x{\small .} \)
При этом в случае деления на отрицательное число поменяем знак неравенства на противоположный:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x& > -4\,|:\color{blue}{ 2>0}\\2x&< 20 \,\,\,|:\color{blue}{ 2>0}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{green}{x}&\color{green}{>-2}{ \small ,}\\\color{red}x&\color{red}{<10}{\small .}\end{aligned}\right.\)
Изобразим числовые промежутки, соответствующие полученным неравенствам на числовой прямой.
Их пересечение и будет решением исходной системы.
Видим, что пересечение соответствующих промежутков – промежуток \(\displaystyle (-2;10){\small .} \)
То есть решением системы, а значит, и исходного двойного неравенства является интервал \(\displaystyle (-2;10){\small .} \)
Получили, что значения выражения \(\displaystyle 2x-3\) принадлежат промежутку \(\displaystyle (-7;17){\small } \) при \(\displaystyle x\in (-2;10){\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-2;10){\small .} \)