Для функции \(\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{x^2}\) выберите верное утверждение:
Требуется определить, является ли функция \(\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{x^2}\) чётной или нечётной.
Для установления чётности (нечётности) функции необходимо:
- найти область определения функции и убедиться в её симметричности относительно нуля;
- найти \(\displaystyle f(-x)\) и проверить выполнение равенства \(\displaystyle f(-x)=f(x)\) или \(\displaystyle f(-x)=-f(x){\small . } \)
Функция \(\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{x^2}\) определена при
\(\displaystyle x^2 \ \cancel{=}\ 0 {\small,}\)
\(\displaystyle x \ \cancel{=}\ 0 {\small.}\)
Изобразим найденную область на числовой оси:
Видим, что данное множество симметрично относительно нуля.
Найдем \(\displaystyle f(-x) {\small.}\)
Подставим \(\displaystyle \color{blue}{-x}\) вместо \(\displaystyle \color{red}{x}\) в \(\displaystyle f(\color{red}{x})=1+\frac{1}{\color{red}{ x}^2}{\small .}\)
Получим:
\(\displaystyle f(\color{blue}{-x})=1+ \frac{1}{(\color{blue}{ -x})^2}=1+\frac{1}{x^2}{\small.} \)
Таким образом:
| была функция | \(\displaystyle \ f(\color{red}{ x})=1+\frac{1}{x^2}{ \small ,} \) | |
| после подстановки \(\displaystyle \color{blue}{-x} \) вместо \(\displaystyle \color{red}{ x} \) получили | \(\displaystyle f(\color{blue}{-x})=1+\frac{1}{x^2}{\small.}\) |
Видим, что
\(\displaystyle f(-x)=f(x) {\small.}\)
Значит, функция \(\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{x^2}\) является чётной.
Ответ: функция является чётной.