Skip to main content

Теория: 2 (дробно-рациональные – определение четности или нечетности функции)

Задание

Для функции \(\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}\) выберите верное утверждение:

Решение

Требуется определить, является ли функция  \(\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}\) чётной или нечётной.

Вспомним определения чётной (нечётной) функции.

Замечание / комментарий

Для установления чётности (нечётности)  функции необходимо:

  • найти область определения функции и убедиться в её симметричности относительно нуля;
  • найти \(\displaystyle f(-x)\) и проверить выполнение равенства \(\displaystyle f(-x)=f(x)\) или \(\displaystyle f(-x)=-f(x){\small . } \)

Область определения функции \(\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}\) симметрична относительно нуля.

Функция \(\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}\) определена при

\(\displaystyle x \ \cancel{=}\ 0 {\small.}\)

Изобразим найденную область на числовой оси:

Видим, что данное множество симметрично относительно нуля. 

Выполнено равенство \(\displaystyle f(-x)=-f(x) {\small.}\)

Найдем \(\displaystyle f(-x) {\small.}\)

Подставим \(\displaystyle \color{blue}{-x}\)  вместо \(\displaystyle \color{red}{x}\) в \(\displaystyle f(\color{red}{x})=\color{red}{x}+\frac{1}{\color{red}{ x}}{\small .}\)

Получим:

\(\displaystyle f(\color{blue}{-x})=\color{blue}{ -x}+ \frac{1}{(\color{blue}{ -x})}=-x-\frac{1}{x}=-\left(x+\frac{1}{x}\right){\small.} \)

Таким образом:

была функция \(\displaystyle \ f(\color{red}{ x})=x+\frac{1}{x}{ \small ,} \)
после подстановки \(\displaystyle \color{blue}{-x} \) вместо \(\displaystyle \color{red}{ x} \) получили \(\displaystyle f(\color{blue}{-x})=-\left(x+\frac{1}{x}\right){\small.}\)

 

Видим, что

\(\displaystyle f(-x)=-f(x) {\small.}\)

Значит, функция  \(\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}\) является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.