Для функции \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{3x-x^2}\) выберите верное утверждение:
Требуется определить, является ли функция \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{3x-x^2}\) чётной или нечётной.
Для установления чётности (нечётности) функции необходимо:
- найти область определения функции и убедиться в её симметричности относительно нуля;
- найти \(\displaystyle f(-x)\) и проверить выполнение равенства \(\displaystyle f(-x)=f(x)\) или \(\displaystyle f(-x)=-f(x){\small . } \)
Функция \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{3x-x^2}\) определена при
\(\displaystyle 3x-x^2 \ \cancel{=}\ 0 {\small.}\)
Решим полученное неравенство:
\(\displaystyle 3x-x^2 \ \cancel{=}\ 0 {\small,}\)
\(\displaystyle x(3-x) \ \cancel{=}\ 0 {\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}x \ \cancel{=}\ 0{\small ,}\\&\kern{-1em}3-x \ \cancel{=}\ 0{\small ,}\end{cases}\)
\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}x \ \cancel{=}\ 0{\small ,}\\&\kern{-1em}x \ \cancel{=}\ 3{\small .}\end{cases}\)
Изобразим найденную область на числовой оси:
Видим, что данное множество не симметрично относительно нуля.
Значит, функция \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{3x-x^2}\) не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.