Skip to main content

Теория: 2 (дробно-рациональные – определение четности или нечетности функции)

Задание

Для функции \(\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{x}\) выберите верное утверждение:

Решение

Требуется определить, является ли функция  \(\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{x}\) чётной или нечётной.

Вспомним определения чётной (нечётной) функции.

Замечание / комментарий

Для установления чётности (нечётности)  функции необходимо:

  • найти область определения функции и убедиться в её симметричности относительно нуля;
  • найти \(\displaystyle f(-x)\) и проверить выполнение равенства \(\displaystyle f(-x)=f(x)\) или \(\displaystyle f(-x)=-f(x){\small . } \)

Область определения функции \(\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{x}\)  симметрична относительно нуля.

Равенства \(\displaystyle f(-x)=f(x) \) и \(\displaystyle f(-x)=-f(x)\) не выполнены.

Найдем \(\displaystyle f(-x) {\small.}\)

Подставим \(\displaystyle \color{blue}{-x}\)  вместо \(\displaystyle \color{red}{x}\) в \(\displaystyle f(\color{red}{x})=1+\frac{1}{\color{red}{ x}}{\small .}\)

Получим:

\(\displaystyle f(\color{blue}{-x})=1+ \frac{1}{(\color{blue}{ -x})}=1-\frac{1}{x}{\small.} \)

Таким образом:

была функция \(\displaystyle \ f(\color{red}{ x})=1+\frac{1}{x}{ \small ,} \)
после подстановки \(\displaystyle \color{blue}{-x} \) вместо \(\displaystyle \color{red}{ x} \) получили \(\displaystyle f(\color{blue}{-x})=1-\frac{1}{x}{\small.}\)

 

Видим, что

\(\displaystyle f(-x)\ \cancel{=}\ f(x)\)  и \(\displaystyle {f(-x)\ \cancel{=}\ -f(x)\small.}\)

Значит, функция  \(\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{x}\) не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.