Задание
.
Найдите наибольшее значение дроби \(\displaystyle \frac{5}{(t-4)^2+1}{\small.}\)
Решение
Замечание / комментарий
Для положительных чисел \(\displaystyle a,\, t_1, t_2\) верно:
\(\displaystyle \frac{a}{t_1} < \frac{a}{t_2}\) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle t_1>t_2{\small .}\)
Числитель дроби (число \(\displaystyle 5\)) положителен.
Тогда надо найти при каком значении \(\displaystyle t\) знаменатель дроби наименьший.
При \(\displaystyle t=4\) знаменатель \(\displaystyle {(t-4)^2+1}{\small}\) принимает наименьшее значение \(\displaystyle 1{\small.}\)
Значит, значение дроби \(\displaystyle \frac{5}{(t-4)^2+1}\) будет наибольшим при \(\displaystyle t=4{\small.}\) При этом знаменатель дроби равен \(\displaystyle 1{\small.}\)
Тогда наибольшее значение дроби будет равно
\(\displaystyle \frac{5}{1}= 5{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 5{\small.}\)