Решите уравнение:
\(\displaystyle (x^2-3x+8)(x^2-3x-10)=-72{\small.}\)
Введите только необходимое количество различных корней, последние поля ввода оставьте пустыми, если это потребуется.
Если в исходном уравнении раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, получится уравнение четвертой степени.
Заметим, что в скобках дважды встречается выражение \(\displaystyle x^2-3x{\small:}\)
\(\displaystyle (\color{blue}{x^2-3x}+8)(\color{blue}{x^2-3x}-10)=-72{\small.}\)
Заменим его на переменную \(\displaystyle \color{blue}{t}=\color{blue}{x^2-3x}{\small:}\)
\(\displaystyle (\color{blue}{t}+8)(\color{blue}{t}-10)=-72{\small.}\)
Раскроем скобки, приведем подобные и получим квадратное уравнение:
\(\displaystyle t^2-10t+8t-80=-72{\small ,}\)
\(\displaystyle t^2-2t-8=0{\small .}\)
Решим полученное уравнение:
\(\displaystyle t_1=4{\small ,} \, t_2=-2{\small .} \)
Теперь, так как \(\displaystyle {t}={x^2-3x}{\small,}\) можно найти \(\displaystyle x{\small:}\)
\(\displaystyle 4=x^2-3x\) или \(\displaystyle -2=x^2-3x{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle x^2-3x-4=0\) или \(\displaystyle x^2-3x+2=0{\small.}\)
Значит, корни исходного уравнения:
\(\displaystyle x_1=4{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=-1{\small,}\)
\(\displaystyle x_3=2{\small,}\)
\(\displaystyle x_4=1{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle x_1=4{\small,}\,x_2=-1{\small,} \, x_3=2{\small,} \, x_4=1{\small.}\)