Решите уравнение:
\(\displaystyle \frac{1}{2x-3}+\frac{1}{x-1}=2 {\small.}\)
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Для того чтобы решить рациональное уравнение
\(\displaystyle \frac{1}{2x-3}+\frac{1}{x-1}=2 {\small,}\)
- перенесем все члены уравнения в левую часть,
- приведем к общему знаменателю:
\(\displaystyle \frac{1}{2x-3}+\frac{1}{x-1}-2=0{\small .}\)
\(\displaystyle \frac{x-1+2x-3-2(x-1)(2x-3)}{(2x-3)(x-1)}=0{ \small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Получим уравнение
\(\displaystyle \frac{-4x^2+13x-10}{(2x-3)(x-1)}=0{ \small }\)
или (после умножения обеих частей на \(\displaystyle -1{ \small, }\) чтобы избавиться от минуса перед \(\displaystyle x^2\) в числителе):
\(\displaystyle \frac{4x^2-13x+10}{(2x-3)(x-1)}=0{ \small ,}\)
равносильное системе
\(\displaystyle \begin{cases} 4x^2-13x+10=0{\small , } \\ (2x-3)(x-1)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Квадратное уравнение \(\displaystyle 4x^2-13x+10=0\) имеет корни \(\displaystyle x=2\) и \(\displaystyle x=\frac{5}{4}{\small .}\)
\(\displaystyle (2x-3)(x-1)\, \cancel{=}\, 0\) при \(\displaystyle x\, \cancel{=} \, \frac{3}{2}\) и \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, 1{\small .}\)
Получили:
\(\displaystyle \begin{cases} x=2{ \small ,}\, \,x=\dfrac{5}{4}{\small , } \\[5px] x\, \cancel{=} \, \dfrac{3}{2}{ \small ,}\, \,x\, \cancel{=}\, 1{\small . } \end{cases}\)
Значит, \(\displaystyle x=2\) и \(\displaystyle x=\frac{5}{4}\) являются корнями исходного уравнения.
В ответе укажем меньший из корней – это \(\displaystyle \frac{5}{4}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x=\frac{5}{4}{\small .}\)