Для того чтобы решить рациональное уравнение
\(\displaystyle \frac{x+2}{x-1}+\frac{x-6}{x+2}=3 {\small,}\)
- перенесем все члены уравнения в левую часть,
- приведем к общему знаменателю:
\(\displaystyle \frac{x+2}{x-1}+\frac{x-6}{x+2}-3=0{\small .}\)
После приведения к общему знаменателю получим:\(\displaystyle \frac{(x+2)^2+(x-6)(x-1)-3(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)}=0{ \small .}\)
Общий знаменатель равен произведению знаменателей \(\displaystyle (x-1)(x+2){\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{x+2}{x-1}+\frac{x-6}{x+2}-3=\frac{(x+2)(x+2)+(x-6)(x-1)-3(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)}{ \small .}\)
ПравилоУравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Раскроем в числителе скобки и приведем подобные.
\(\displaystyle \begin{aligned}(x+2)^2&+(x-6)(x-1)-3(x-1)(x+2)=\\&=x^2+4x+4+x^2-x-6x+6-3(x^2+2x-x-2)=\\&=2x^2-3x+10-3x^2-6x+3x+6=-x^2-6x+16{\small .}\end{aligned}\)
Получим уравнение
\(\displaystyle \frac{-x^2-6x+16}{(x-1)(x+2)}=0{ \small }\)
или (после умножения обеих частей на \(\displaystyle -1{ \small, }\) чтобы избавиться от минуса перед \(\displaystyle x^2\) в числителе):
\(\displaystyle \frac{x^2+6x-16}{(x-1)(x+2)}=0{ \small ,}\)
равносильное системе
\(\displaystyle \begin{cases} x^2+6x-16=0{\small , } \\ (x-1)(x+2)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Квадратное уравнение \(\displaystyle x^2+6x-16=0\) имеет корни \(\displaystyle x=2\) и \(\displaystyle x=-8{\small .}\)
Найдём дискриминант
\(\displaystyle {\rm D}=6^2-4 \cdot(-16)=36+64=100\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt {100}=10{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned}x_1&=\frac{-6+10}{2 }=2{ \small ,}\\[5px]x_2&=\frac{-6-10}{2}=-8{\small .}\end{aligned}\)
\(\displaystyle (x-1)(x+2)\, \cancel{=}\, 0\) при \(\displaystyle x\, \cancel{=} \, 1\) и \(\displaystyle x\, \cancel{=}-2{\small .}\)
Найдем значения \(\displaystyle x{ \small ,}\) при которых \(\displaystyle (x-1)(x+2)\,\cancel{=}\,0{ \small :}\)
| \(\displaystyle x-1\, \cancel{=}\, 0\) | и | \(\displaystyle x+2\, \cancel{=}\, 0{ \small ,}\) |
| \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, 1{ \small ,}\) | | \(\displaystyle x\, \cancel{=} -2{\small .}\) |
Получили:
\(\displaystyle \begin{cases} x=2{ \small ,}\, \,x=-8{\small , } \\[5px] x\, \cancel{=} \, 1{ \small ,}\, \,x\, \cancel{=} -2{\small . } \end{cases}\)
Значит, \(\displaystyle x=2\) и \(\displaystyle x=-8\) являются корнями исходного уравнения.
\(\displaystyle 2\, \cancel{=} \, 1{ \small ,}\) \(\displaystyle 2\, \cancel{=}-2{ \small ,}\)
и
\(\displaystyle -8\, \cancel{=} \,1{ \small ,}\) \(\displaystyle -8\, \cancel{=}-2{ \small .}\)
Значит, \(\displaystyle x=2\) и \(\displaystyle x=-8\) не обращают знаменатель в ноль и являются корнями исходного уравнения.
В ответе укажем больший из корней – это \(\displaystyle 2{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x=2{\small .}\)