Для того чтобы решить рациональное уравнение
\(\displaystyle \frac{14}{x^2-2x}-\frac{21}{x^2+2x}=\frac{5}{x} {\small,}\)
- перенесем все члены уравнения в левую часть;
- приведем к виду \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0{\small;}\)
- воспользуемся правилом
ПравилоУравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
\(\displaystyle \frac{14}{x^2-2x}-\frac{21}{x^2+2x}-\frac{5}{x}=0{\small .}\)
Разложим знаменатели исходного уравнения на множители
Вынося общий множитель \(\displaystyle x{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle x^2-2x=x(x-2){\small,}\)
\(\displaystyle x^2+2x=x(x+2){\small.}\)
и перепишем уравнение в виде:
\(\displaystyle \frac{14}{x(x-2)}-\frac{21}{x(x+2)}-\frac{5}{x}=0{\small .}\)
Видим, что общий знаменатель равен \(\displaystyle x(x-2)(x+2){\small .}\)
Приведём выражение в левой части к общему знаменателю
Приведем выражение \(\displaystyle \frac{14}{x(x-2)}-\frac{21}{x(x+2)}-\frac{5}{x}\) к общему знаменателю \(\displaystyle x(x-2)(x+2){\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{14}{x(x-2)}-\frac{21}{x(x+2)}-\frac{5}{x}=\frac{14(x+2)-21(x-2)-5(x-2)(x+2)}{x(x-2)(x+2)}{ \small .}\end{aligned}\)
Раскроем в числителе скобки и приведем подобные:
\(\displaystyle \begin{aligned}14(x+2)&-21(x-2)-5(x-2)(x+2)=\\&=14x+28-21x+42-5(x^2-4)=\\&=-7x+70-5x^2+20=-5x^2-7x+90{\small .}\end{aligned}\)
Значит,
\(\displaystyle \frac{14}{x(x-2)}-\frac{21}{x(x+2)}-\frac{5}{x}=\frac{-5x^2-7x+90}{x(x-2)(x+2)}{\small .}\)
и получим уравнение
\(\displaystyle \frac{-5x^2-7x+90}{x(x-2)(x+2)}=0\)
или (после умножения обеих частей на \(\displaystyle -1{ \small, }\) чтобы избавиться от минуса перед \(\displaystyle x^2\) в числителе):
\(\displaystyle \frac{5x^2+7x-90}{x(x-2)(x+2)}=0{ \small ,}\)
равносильное системе
\(\displaystyle \begin{cases} 5x^2+7x-90=0{\small , } \\ x(x-2)(x+2)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Квадратное уравнение \(\displaystyle 5x^2+7x-90=0\) имеет корни \(\displaystyle x=3{,}6\) и \(\displaystyle x=-5{\small .}\)
Найдём дискриминант
\(\displaystyle {\rm D}=7^2-4 \cdot 5 \cdot(-90)=49+1800=1849\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt {1849}=43{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned}x_1&=\frac{-7+43}{2 \cdot 5 }=3{,}6{ \small ;}\\[5px]x_2&=\frac{-7-43}{2 \cdot 5}=-5{\small .}\end{aligned}\)
\(\displaystyle x(x-2)(x+2)\, \cancel{=}\, 0\) при \(\displaystyle x\, \cancel{=} \, 0 { \small ,}\, x\, \cancel{=} \, 2\) и \(\displaystyle x\, \cancel{=}-2{\small .}\)
Найдем значения \(\displaystyle x{ \small ,}\) при которых \(\displaystyle (x-2)(x+2)\,\cancel{=}\,0{ \small :}\)
| \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, 0{ \small ,}\) | \(\displaystyle x-2\, \cancel{=}\, 0\) | и | \(\displaystyle x+2\, \cancel{=}\, 0{ \small ,}\) |
| | \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, 2{ \small ,}\) | | \(\displaystyle x\, \cancel{=} -2{\small .}\) |
Получили:
\(\displaystyle \begin{cases} x=3{,}6{ \small ,}\, \,x=-5{\small , } \\[5px] x\, \cancel{=} \, 0{ \small ,}\, x\, \cancel{=} \, 2{ \small ,}\, \,x\, \cancel{=} -2{\small . } \end{cases}\)
Значит: \(\displaystyle x=3{,}6\) является корнем исходного уравнения,
\(\displaystyle x=-5\) является корнем исходного уравнения.
\(\displaystyle 3{,}6\, \cancel{=} \, 0{ \small ,}\) \(\displaystyle 3{,}6\, \cancel{=} \, 2{ \small ,}\) \(\displaystyle 3{,}6\, \cancel{=}-2{ \small ,}\)
и
\(\displaystyle -5\, \cancel{=} \, 0{ \small ,}\) \(\displaystyle -5\, \cancel{=} \, 2{ \small ,}\) \(\displaystyle -5\, \cancel{=}-2{ \small .}\)
Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: \(\displaystyle x=3{,}6\) и \(\displaystyle x=-5{\small .}\)
В ответе укажем больший из корней: \(\displaystyle x=3{,}6{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x=3{,}6{\small .}\)