Skip to main content

Теория: 02 Дробно-рациональные уравнения - 2

Задание

Решите уравнение: 

\(\displaystyle \frac{10}{x+3}+\frac{20}{x^2-9}=\frac{x}{x-3} {\small.}\)

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

      \(\displaystyle x=\)
      5
      Решение

      Для того чтобы решить рациональное уравнение

      \(\displaystyle \frac{10}{x+3}+\frac{20}{x^2-9}=\frac{x}{x-3} {\small,}\)

        • перенесем все члены уравнения в левую часть;
        • приведем к виду \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0{\small;}\)
        • воспользуемся правилом

        Правило

        Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе   \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

            \(\displaystyle \frac{10}{x+3}+\frac{20}{x^2-9}-\frac{x}{x-3}=0{\small .}\)

            Разложим \(\displaystyle x^2-9\) на множители, воспользовавшись формулой разности квадратов:

            \(\displaystyle x^2-9=(x+3)(x-3){ \small .}\)

            Перепишем исходное уравнение в виде:

            \(\displaystyle \frac{10}{x+3}+\frac{20}{(x+3)(x-3)}-\frac{x}{x-3}=0{\small .}\)

            Видим, что общий знаменатель равен \(\displaystyle (x+3)(x-3){\small .}\)

            Приведём выражение в левой части к общему знаменателю

            и получим уравнение

            \(\displaystyle \frac{-x^2+7x-10}{(x+3)(x-3)}=0\)

            или (после умножения обеих частей на \(\displaystyle -1{ \small, }\) чтобы избавиться от минуса перед \(\displaystyle x^2\) в числителе):

            \(\displaystyle \frac{x^2-7x+10}{(x+3)(x-3)}=0{ \small ,}\)

            равносильное системе

            \(\displaystyle \begin{cases} x^2-7x+10=0{\small , } \\ (x+3)(x-3)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

            Квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-7x+10=0\) имеет корни \(\displaystyle x=5\) и  \(\displaystyle x=2{\small .}\)

            \(\displaystyle (x+3)(x-3)\, \cancel{=}\, 0\)    при \(\displaystyle x\, \cancel{=} -3\) и \(\displaystyle x\, \cancel{=}\,3 {\small .}\)

            Получили:

            \(\displaystyle \begin{cases} x=5{ \small ,}\, \,x=2{\small , } \\[5px] x\, \cancel{=} -3{ \small ,}\, \,x\, \cancel{=}\, 3{\small . } \end{cases}\)

            Значит: 

            \(\displaystyle x=5\) является корнем исходного уравнения,

             \(\displaystyle x=2\) является корнем исходного уравнения.

            Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: \(\displaystyle x=5\) и \(\displaystyle x=2{\small .}\) 

            В ответе укажем больший из корней: \(\displaystyle x=5{\small .}\) 


            Ответ: \(\displaystyle x=5{\small .}\)