Skip to main content

Теория: 02 Дробно-рациональные уравнения - 2

Задание

Найдите корень уравнения:

\(\displaystyle \frac{x-5}{8x-23}=\frac{x-5}{10x-37}{\small .}\)

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

\(\displaystyle x=\) 

Решение

Для того чтобы решить рациональное уравнение

\(\displaystyle \frac{x-5}{8x-23}=\frac{x-5}{10x-37} { \small ,}\)

    • перенесем все члены уравнения в левую часть,
    • приведем к общему знаменателю:

    \(\displaystyle \frac{x-5}{8x-23}-\frac{x-5}{10x-37}=0{ \small .}\)

    После приведения к общему знаменателю получим:

    \(\displaystyle \frac{(x-5)(10x-37)-(x-5)(8x-23)}{(8x-23)(10x-37)}=0{ \small .}\)

    Правило

    Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе   \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

    Для удобства дальнейших вычислений вынесем в числителе общий множитель за скобки и приведем подобные.

    Получим уравнение

    \(\displaystyle \frac{(x-5)(2x-14)}{(8x-23)(10x-37)}=0{ \small ,}\)

    равносильное системе

    \(\displaystyle \begin{cases} (x-5)(2x-14)=0{\small , } \\ (8x-23)(10x-37)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

    Корни уравнения \(\displaystyle (x-5)(2x-14)=0{\small :}\)   \(\displaystyle x=5\) и  \(\displaystyle x=7{\small .}\)

    \(\displaystyle (8x-23)(10x-37)\, \cancel{=}\, 0\)    при \(\displaystyle x\, \cancel{=} \, \frac{23}{8}\) и \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, \frac{37}{10}{\small .}\)

    Найдем значения \(\displaystyle x{ \small ,}\) при которых \(\displaystyle (8x-23)(10x-37)\,\cancel{=}\,0{ \small :}\)

    \(\displaystyle 8x-23\, \cancel{=}\, 0\)и\(\displaystyle 10x-37\, \cancel{=}\, 0{ \small ,}\)
    \(\displaystyle 8x\, \cancel{=}\, 23{ \small ,}\) \(\displaystyle 10x\, \cancel{=}\, 37{ \small ,}\)
    \(\displaystyle x\, \cancel{=} \, \frac{23}{8}{ \small ,}\) \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, \frac{37}{10}{\small .}\)

    Проверим корни:

    \(\displaystyle 5\, \cancel{=} \, \frac{23}{8}{ \small ,}\)  \(\displaystyle 5\, \cancel{=}\, \frac{37}{10}{ \small ,}\)

    и

    \(\displaystyle 7\, \cancel{=} \, \frac{23}{8}{ \small ,}\)  \(\displaystyle 7\, \cancel{=}\, \frac{37}{10}{ \small .}\)

    Значит, \(\displaystyle x=5\) и \(\displaystyle x=7\) не обращают знаменатель в ноль и являются решениями уравнения.

    В ответ записываем больший из них – это \(\displaystyle 7{\small .}\)


    Ответ: \(\displaystyle 7{\small .}\)