Баржа прошла по течению реки \(\displaystyle 40\)км и, повернув обратно, прошла ещё \(\displaystyle 30\)км, затратив на весь путь \(\displaystyle 5\)часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна \(\displaystyle 5\) км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Известны пройденные расстояние, скорость течения реки и общее затраченное время.
Пусть \(\displaystyle x\) км/ч – собственная скорость баржи.
Тогда баржа идёт по течению со скоростью \(\displaystyle (x+5)\)км/ч, а против течения – со скоростью
\(\displaystyle (x-5)\)км/ч.
Для удобства расчётов внесём данные о скорости и расстоянии в таблицу и найдем время:
| Путь | \(\displaystyle v\) | \(\displaystyle S\) | \(\displaystyle t=\frac {S}{v}\) |
| по течению | \(\displaystyle x+5\) | \(\displaystyle 40\) | \(\displaystyle \color{blue}{\frac {40}{x+5}}\) |
| против течения | \(\displaystyle x-5\) | \(\displaystyle 30\) | \(\displaystyle \color{green}{ \frac {30}{x-5}}\) |
По условию на весь путь было затрачено \(\displaystyle 5\) часов.
Составим уравнение:
\(\displaystyle \color{blue}{\frac {40}{x+5}+\color{green}{ \frac {30}{x-5}}}=5{\small .}\)
Решим полученное уравнение:
\(\displaystyle \frac {40}{x+5}+\frac {30}{x-5}-5=0{\small .}\)
Приведем дроби к общему знаменателю:
\(\displaystyle \frac{40(x-5)+30(x+5)-5(x-5)(x+5)}{(x-5)(x+5)}=0{ \small .}\)
Заметим, что \(\displaystyle (x-5)\) и \(\displaystyle (x+5)\)– это скорости баржи против течения и по течению, поэтому \(\displaystyle x-5>0\) и \(\displaystyle x+5>0{ \small ,}\) откуда
\(\displaystyle x>5{ \small .}\)
Значит, можем перейти к уравнению:
\(\displaystyle 40(x-5)+30(x+5)-5(x-5)(x+5)=0 { \small .}\)
Ограничению \(\displaystyle x>5\) удовлетворяет только \(\displaystyle x=15{\small .}\)
Значит, cобственная скорость баржи равна \(\displaystyle 15\)км/ч.
Ответ: \(\displaystyle 15\)км/ч.