Расстояние между пристанями \(\displaystyle А\) и \(\displaystyle В\) равно \(\displaystyle 140\) км. Из \(\displaystyle А\) в \(\displaystyle В\) по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт \(\displaystyle В{ \small ,}\) тотчас повернула обратно и возвратилась в \(\displaystyle А{ \small .}\) К этому времени плот проплыл \(\displaystyle 51\) км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна \(\displaystyle 3\)км/ч. Ответ дайте в км/ч.
По условию есть два участника движения:
- плот, скорость которого равна скорости течения реки \(\displaystyle \red3\)км/ч, проплыл \(\displaystyle \blue{51}\)км;
- моторная лодка, которая прошла расстояние \(\displaystyle 140\)км дважды – сначала по течению, а затем против.
Требуется найти скорость лодки в неподвижной воде.
Плот потратил на свой путь \(\displaystyle \blue{51}:\red3=17\)часов.
Лодка начала движение на час позже плота. Значит, на весь путь она потратила \(\displaystyle 17-1=16\)часов.
Пусть \(\displaystyle x\)км/ч – скорость лодки в неподвижной воде.
Тогда лодка идёт против течения со скоростью \(\displaystyle (x-3)\)км/ч, а по течению – со скоростью \(\displaystyle (x+3)\)км/ч.
Для удобства расчётов внесём данные о скорости и расстоянии в таблицу и найдем время:
| Путь | \(\displaystyle v\) | \(\displaystyle S\) | \(\displaystyle t=\frac {S}{v}\) |
| по течению | \(\displaystyle x+3\) | \(\displaystyle 140\) | \(\displaystyle \color{blue}{\frac {140}{x+3}}\) |
| против течения | \(\displaystyle x-3\) | \(\displaystyle 140\) | \(\displaystyle \color{green}{ \frac {140}{x-3}}\) |
Составим уравнение, учитывая, что на весь путь лодка затратила \(\displaystyle 16\)часов:
\(\displaystyle \color{blue}{\frac {140}{x+3}+\color{green}{ \frac {140}{x-3}}}=16{\small .}\)
Решим полученное уравнение:
\(\displaystyle \frac {140}{x+3}+\frac {140}{x-3}-16=0{\small .}\)
Приведем дроби к общему знаменателю:
\(\displaystyle \frac{140(x-3)+140(x+3)-16(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+3)}=0{ \small .}\)
Заметим, что \(\displaystyle (x-3)\) и \(\displaystyle (x+3)\)– это скорости лодки против течения и по течению, поэтому \(\displaystyle x-3>0\) и \(\displaystyle x+3>0{ \small ,}\) откуда
\(\displaystyle x>3{ \small .}\)
Значит, можем перейти к уравнению:
\(\displaystyle 140(x-3)+140(x+3)-16(x-3)(x+3)=0{ \small .}\)
Корни полученного уравнения: \(\displaystyle x=18\) и \(\displaystyle x=-0{,}5\)
Ограничению \(\displaystyle x>3\) удовлетворяет только \(\displaystyle x=18{\small .}\)
Значит, скорость лодки в неподвижной воде равна \(\displaystyle 18\)км/ч.
Ответ: \(\displaystyle 18\)км/ч.