Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения \(\displaystyle 200\) км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна \(\displaystyle 15\) км/ч, стоянка длится \(\displaystyle 10\) часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через \(\displaystyle 40\) часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Пройденное расстояние и скорость теплохода в неподвижной воде известны.
Пусть \(\displaystyle x\) км/ч – скорость течения реки.
Тогда теплоход идёт по течению со скоростью \(\displaystyle (15+x)\)км/ч, а против течения – со скоростью \(\displaystyle (15-x)\)км/ч.
Для удобства расчётов внесём данные о скорости и расстоянии в таблицу и найдем время:
| Путь | \(\displaystyle v\) | \(\displaystyle S\) | \(\displaystyle t=\frac {S}{v}\) |
| по течению | \(\displaystyle 15+x\) | \(\displaystyle 200\) | \(\displaystyle \color{blue}{\frac {200}{15+x}}\) |
| против течения | \(\displaystyle 15-x\) | \(\displaystyle 200\) | \(\displaystyle \color{green}{ \frac {200}{15-x}}\) |
Cтоянка длится \(\displaystyle 10\) часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через \(\displaystyle 40\) часов после отплытия из него.
Значит, общее время в пути составляет \(\displaystyle 40-10=30\) часов.
Составим уравнение:
\(\displaystyle \color{blue}{\frac {200}{15+x}+\color{green}{ \frac {200}{15-x}}}=30{\small .}\)
Решим полученное уравнение:
\(\displaystyle \frac {200}{15+x}+\frac {200}{15-x}-30=0{\small .}\)
Приведем к общему знаменателю:
\(\displaystyle \frac{200(15-x)+200(15+x)-30(15-x)(15+x)}{(15-x)(15+x)}=0{ \small .}\)
Заметим, что \(\displaystyle x\) – это скорость течения, а \(\displaystyle (15+x)\) и \(\displaystyle (15-x)\) – скорости теплохода по течению и против течения соответственно. Поскольку скорость не может быть отрицательной, то \(\displaystyle x>0\), \(\displaystyle 15+x>0\) и \(\displaystyle 15-x>0{ \small ,}\) откуда
\(\displaystyle 0<x<15{ \small .}\)
Значит, можем перейти к уравнению:
\(\displaystyle 200(15-x)+200(15+x)-30(15-x)(15+x)=0{ \small .}\)
Ограничению \(\displaystyle 0<x<15\) удовлетворяет только \(\displaystyle x=5{\small .}\)
Таким образом, скорость течения реки равна \(\displaystyle 5\)км/ч.
Ответ: \(\displaystyle 5\)км/ч.