Теория: 10 Решение более сложных систем линейных уравнений (короткая версия)

\(\displaystyle (3+x)^2-(7-x)^2=-16y{\small.} \)

СПОСОБ \(\displaystyle 1\)

• Раскроем скобки, применив формулы квадрата суммы и квадрата разности:

\(\displaystyle 9+6x+x^2-(49-14x+x^2)=-16y{\small;}\)

\(\displaystyle 9+6x+x^2-49+14x-x^2=-16y{\small.}\)

• Приведём подобные:

\(\displaystyle \color{green}{9}+\color{blue}{6x}+\cancel{x^2}\color{green}{-49}+\color{blue}{14x}-\cancel{x^2}=-16y{\small;}\)

\(\displaystyle -40+20x=-16y{\small.}\)

• Перенесём слагаемые с переменной в левую часть равенства, а числа – в правую:

\(\displaystyle 16y+20x=40{\small.}\)

• Разделим обе части равенства на \(\displaystyle 4{\small:}\)

\(\displaystyle 16y+20x=40\ \ \color{red}{\big| :4 }\ {\small;}\)

\(\displaystyle 4y+5x=10{\small.}\)

СПОСОБ \(\displaystyle 2\)

• Раскроем скобки, применив формулу разности квадратов:

\(\displaystyle \bigg((3+x)+(7-x)\bigg) \bigg((3+x)-(7-x)\bigg)=-16y{\small;} \)

\(\displaystyle (3+x+7-x)(3+x-7+x)=-16y{\small;} \)

\(\displaystyle 10(2x-4)=-16y{\small;} \)

\(\displaystyle 20x-40=-16y{\small.} \)

• Перенесём слагаемые с переменной в левую часть равенства, а числа – в правую:

\(\displaystyle 16y+20x=40{\small.}\)

• Разделим обе части равенства на \(\displaystyle 4{\small:}\)

\(\displaystyle 16y+20x=40\ \ \color{red}{\big| :4 }\ {\small;}\)

\(\displaystyle 4y+5x=10{\small.}\)

Чтобы получить противоположные коэффициенты перед переменной \(\displaystyle x{\small,}\) умножим первое уравнение на \(\displaystyle 5{\small,}\) второе – на \(\displaystyle 2{\small.}\)

\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}7y-2x=39\ \ \color{darkviolet}{\big| \cdot 5 } {\small,}\\4y+5x=10\ \ \color{magenta}{\big| \cdot 2 }{\small;}\end{cases}\end{aligned}\)

\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}35y-10x=195{\small,}\\8y+10x=20{\small.}\end{cases}\end{aligned}\)

К левой части первого уравнения прибавим левую часть второго уравнения, а к правой – правую.

\(\displaystyle\begin{aligned}\underset{\color{red}{\ \ \ \ \ \ \ \text{ -----------------------------}}}{\color{red}{+}\begin{cases}35y-10x=195{\small,}\\\ \ 8y+10x=20{\small.}\\\end{cases}}\\43y+0=215\ \ {\small.}\end{aligned}\)

Получили уравнение с одной переменной \(\displaystyle y{\small.}\)

Найдём значение \(\displaystyle y{\small,}\) разделив обе части этого уравнения на \(\displaystyle 43{\small:}\)

\(\displaystyle 43y=215 \ \color{red}{\Big|:43}\ {\small;} \) 

\(\displaystyle y=5{\small.}\)

Подставим найденное значение \(\displaystyle y\) в первое уравнение системы и вычислим значение \(\displaystyle x{\small:}\)

\(\displaystyle 7y-2x=39{\small;} \)

\(\displaystyle 7 \cdot 5 -2x=39{\small;} \)

\(\displaystyle 35 -2x=39{\small;} \)

\(\displaystyle -2x=4{\small;} \)

\(\displaystyle x=-2{\small.} \)