Skip to main content

Теория: 10 Решение более сложных систем линейных уравнений (короткая версия)

Задание

Решите систему уравнений:

\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}(x+1)(y-1)=(x-1)(y-5){\small,}\\(x+2)(y+5)=xy+15{\small.}\end{cases}\end{aligned}\)

\(\displaystyle x=\)  \(\displaystyle ;\)\(\displaystyle y=\)  \(\displaystyle .\)

Решение

Решим систему уравнений:

\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}(x+1)(y-1)=(x-1)(y-5){\small,}\\(x+2)(y+5)=xy+15{\small.}\end{cases}\end{aligned}\)

Преобразуем данную систему к виду:

\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}4x+2y=6{\small,}\\5x+2y=5{\small.}\end{cases}\end{aligned}\) 

Получили систему уравнений, равносильную исходной.

Решим полученную систему методом алгебраического сложения:

  • умножим первое уравнение на \(\displaystyle (-1){\small:}\)

\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}4x+2y=6\, \, \, \color{red}{\big| \cdot (-1)}{\small,}\\5x+2y=5{\small;}\end{cases}\end{aligned}\)

\(\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}-4x-2y=-6{\small,}\\\, \, \, 5x+2y=5{\small;}\end{cases}\end{aligned}\)

  • к левой части первого уравнения прибавим левую часть второго уравнения, а к правой – правую:

\(\displaystyle\begin{aligned}\underset{\color{red}{\, \, \, \, \, \, \, \text{ -----------------------------}}}{\color{red}{+}\begin{cases}-4x-2y=-6{\small,}\\\, \, \, \, 5x+2y=5{\small.}\end{cases}}\\x+0=-1 {\small.}\, \, \, \, \, \, \,\end{aligned}\)

Получили

\(\displaystyle x=-1{\small.}\)

Подставим найденное значение \(\displaystyle x\) во второе уравнение системы и вычислим значение \(\displaystyle y{\small:}\)

\(\displaystyle 5x+2y=5{\small;}\)

\(\displaystyle 5 \cdot (-1)+2y=5{\small;}\)

\(\displaystyle 2y=5+5{\small;}\)

\(\displaystyle 2y=10{\small;}\)

\(\displaystyle y=5{\small.}\)

Решением системы является пара чисел

\(\displaystyle x=-1{\small;}\)  \(\displaystyle y=5{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle x=-1{\small;}\)  \(\displaystyle y=5{\small.}\)