Теория: Наибольшее и наименьшее значение квадратного трёхчлена (короткая версия)

Вынесем за скобки общий множитель \(\displaystyle 5\) первых двух слагаемых:

\(\displaystyle 5x^2 - 20x + 91 = 5(x^2-4x)+91{\small.}\)

Далее преобразуем выражение в скобках.

Воспользуемся правилом.

Перепишем выражение \(\displaystyle x^2 - 4x\) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:

\(\displaystyle x^2-\color{red}{2}\cdot \frac{4x}{ \color{red}{2} }=x^2-2\cdot 2x = x^2-2\cdot x \cdot 2{\small .}\)

Сравним формулу и выражение \(\displaystyle x^2-2\cdot x \cdot2{\small:}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{2}\,+\,?\end{aligned}\)

Получаем, что \(\displaystyle a=x, \, b=2{\small , }\) и надо добавить к последнему выражению \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\color{green}{2}^2=\color{green}{4}{\small ,}\) чтобы получить квадрат разности, то есть

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2 - \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{2}\,+\,\color{green}4{\small .}\end{aligned}\)

Поэтому, к выражению \(\displaystyle x^2 - 4x \) прибавим и одновременно вычтем из него число \(\displaystyle 4\) так, чтобы получить полный квадрат:

\(\displaystyle (x^2-4x+\color{green}{4})-\color{green}{4}= (x^2 - 2\cdot x \cdot 2+ 2^2) - 4= (x-2)^2-4{\small .}\)

Таким образом, получили:

\(\displaystyle x^2-4x = (x-2)^2-4{\small .}\)

Вернемся к исходному выражению:

\(\displaystyle 5(x^2-4x)+91 = 5((x-2)^2-4)+91{\small.}\)

Раскроем скобки:

\(\displaystyle 5((x-2)^2-4)+91 = 5(x-2)^2-5\cdot4+91{\small.}\)

Досчитаем:

\(\displaystyle 5(x-2)^2-5\cdot4+91 = 5(x-2)^2 + 71{\small.}\)

Таким образом,

 \(\displaystyle 5x^2 - 20x + 91 = 5(x-2)^2 + 71{\small .}\)