Теория: Наибольшее и наименьшее значение квадратного трёхчлена (короткая версия)

Воспользуемся правилом.

Для того чтобы из квадратного трехчлена \(\displaystyle x^2 - 10x + 1\) выделить квадрат двучлена, распишем \(\displaystyle 10x\) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:

\(\displaystyle x^2-\color{red}{2}\cdot \frac{ 10x}{ \color{red}{2} }+1=x^2-2\cdot 5x+1=x^2-2\cdot x \cdot 5+1{\small .}\)

Сравним формулу и выражение \(\displaystyle x^2+2\cdot x \cdot5{\small:}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{5}\,+\,?\end{aligned}\)

Получаем, что \(\displaystyle a=x, \, b=5{\small , }\) и надо добавить к последнему выражению \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\color{green}{5}^2=\color{green}{25}{\small ,}\) чтобы получить квадрат разности, то есть

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{5}\,+\,\color{green}{25}{\small .}\end{aligned}\)

Поэтому к выражению \(\displaystyle x^2 -10x \) прибавим и одновременно вычтем из него число \(\displaystyle 25\) так, чтобы в выражении

\(\displaystyle x^2 -10x + 25\)

получить полный квадрат:

\(\displaystyle (x^2 -10x+\color{green}{25})-\color{green}{25}+1= (x^2 - 2\cdot x \cdot 5 + 5^2) - 24= (x-5)^2-24{\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle x^2 - 10x + 1 = (x-5)^2-24{\small .}\)