Skip to main content

Теория: 01 Системы из нескольких линейных неравенств с одной переменной (короткая версия)

Задание

Решите систему линейных неравенств:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&>1{\small , }\\x&>-8{\small , }\\x&>-2{\small . } \end{aligned} \right. \)

\(\displaystyle x\in\) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Решение 1

Решим систему линейных неравенств

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{red}{x}&>\color{red}{ 1}{\small , }\\\color{green}{x}&>\color{green}{ -8}{\small , }\\\color{blue}{x}&>\color{blue}{-2}{\small . } \end{aligned} \right. \)


Неравенство \(\displaystyle \color{red}{x>1}\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle \color{green}{x>-8}\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle \color{blue}{x>-2}\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно больше \(\displaystyle 1{\small , } \) больше \(\displaystyle -8\) и больше \(\displaystyle -2{\small .} \)

Найдём пересечение трёх промежутков.

Изобразим решение неравенств на разной высоте и проследим, над каким промежутком проходят все три линии (то есть промежуток удовлетворяет всем трём неравенствам):

Видим, что решение – это промежуток  \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)

Решение 2

Решим систему линейных неравенств

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{red}{x}&>\color{red}{ 1}{\small , }\\\color{green}{x}&>\color{green}{ -8}{\small , }\\\color{blue}{x}&>\color{blue}{-2}{\small . } \end{aligned} \right. \)

Будем решать эту систему последовательно для пар неравенств, выбранных определенных образом, используя правило "больше большего".

Сначала определим решение для первых двух неравенств.

Так как \(\displaystyle 1 \) больше \(\displaystyle -8{ \small ,} \) то по правилу "больше большего" система неравенств

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{red}{x}&>\color{red}{ 1}{\small , }\\\color{green}{x}&>\color{green}{ -8}\end{aligned} \right. \) имеет решение \(\displaystyle x>1{\small .} \)

Подставляя полученное решение в исходную систему неравенств, получаем систему

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&>1{\small , }\\\color{blue}{x}&>\color{blue}{-2}{\small . }\end{aligned} \right. \)

Теперь определим решение для получившейся пары неравенств.

Так как \(\displaystyle 1 \) больше \(\displaystyle -2{ \small ,} \) то по правилу "больше большего" система неравенств

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&>1{\small , }\\\color{blue}{x}&>\color{blue}{-2}\end{aligned} \right. \) имеет решение \(\displaystyle x>1{\small .} \)

Значит, исходная система неравенств имеет решение \(\displaystyle x>1{\small .} \)

Записывая в виде промежутка, получаем \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)

Замечание / комментарий

Правило "больше большего" действует для любого числа неравенств.

То есть для данной системы можно было сразу заметить, что \(\displaystyle 1>-2>-8{\small ,} \) и записать решение 

\(\displaystyle x>1{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)