Решите систему линейных неравенств:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&>1{\small , }\\x&>-8{\small , }\\x&>-2{\small . } \end{aligned} \right. \)
Решение 1
Решим систему линейных неравенств
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{red}{x}&>\color{red}{ 1}{\small , }\\\color{green}{x}&>\color{green}{ -8}{\small , }\\\color{blue}{x}&>\color{blue}{-2}{\small . } \end{aligned} \right. \)
Неравенство \(\displaystyle \color{red}{x>1}\) соответствует множеству точек на прямой:
Неравенство \(\displaystyle \color{green}{x>-8}\) соответствует множеству точек на прямой:
Неравенство \(\displaystyle \color{blue}{x>-2}\) соответствует множеству точек на прямой:
Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно больше \(\displaystyle 1{\small , } \) больше \(\displaystyle -8\) и больше \(\displaystyle -2{\small .} \)
Найдём пересечение трёх промежутков.
Изобразим решение неравенств на разной высоте и проследим, над каким промежутком проходят все три линии (то есть промежуток удовлетворяет всем трём неравенствам):
Видим, что решение – это промежуток \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)
Решение 2
Решим систему линейных неравенств
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{red}{x}&>\color{red}{ 1}{\small , }\\\color{green}{x}&>\color{green}{ -8}{\small , }\\\color{blue}{x}&>\color{blue}{-2}{\small . } \end{aligned} \right. \)
Будем решать эту систему последовательно для пар неравенств, выбранных определенных образом, используя правило "больше большего".
Так как \(\displaystyle 1 \) больше \(\displaystyle -8{ \small ,} \) то по правилу "больше большего" система неравенств
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{red}{x}&>\color{red}{ 1}{\small , }\\\color{green}{x}&>\color{green}{ -8}\end{aligned} \right. \) имеет решение \(\displaystyle x>1{\small .} \)
Подставляя полученное решение в исходную систему неравенств, получаем систему
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&>1{\small , }\\\color{blue}{x}&>\color{blue}{-2}{\small . }\end{aligned} \right. \)
Так как \(\displaystyle 1 \) больше \(\displaystyle -2{ \small ,} \) то по правилу "больше большего" система неравенств
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&>1{\small , }\\\color{blue}{x}&>\color{blue}{-2}\end{aligned} \right. \) имеет решение \(\displaystyle x>1{\small .} \)
Значит, исходная система неравенств имеет решение \(\displaystyle x>1{\small .} \)
Записывая в виде промежутка, получаем \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)
Правило "больше большего" действует для любого числа неравенств.
То есть для данной системы можно было сразу заметить, что \(\displaystyle 1>-2>-8{\small ,} \) и записать решение
\(\displaystyle x>1{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)