Сократите дробь:
Сократить дробь можно только на общий множитель числителя и знаменателя.
Поэтому разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
Тогда
\(\displaystyle \frac{4x^2+2x}{2x^2 + 5x + 2}=\frac{2x(2x+1)}{2{\left( x + \dfrac{1}{2} \right ) \left( x + 2 \right)}}{\small.} \)
Теперь избавимся от дроби в знаменателе. Для этого внесём множитель \(\displaystyle 2\) в первую скобку:
\(\displaystyle 2{\left( x + \dfrac{1}{2} \right )}=2x+1{\small.}\)
Можем сократить дробь на общий множитель:
\(\displaystyle \frac{2x(2x+1)}{2{\left( x + \dfrac{1}{2} \right ) \left( x + 2 \right)}}=\frac{2x \color {blue}{(2x+1)}}{{\color {blue}{\left(2 x + 1 \right )} \left( x + 2 \right)}}=\frac{2x}{x+2}{\small.} \)
Таким образом, имеем цепочку равенств:
\(\displaystyle \frac{4x^2+2x}{2x^2 + 5x + 2}=\frac{2x(2x+1)}{2{\left( x + \dfrac{1}{2} \right ) \left( x + 2 \right)}}=\frac{2x {(2x+1)}}{{{\left(2 x + 1 \right )} \left( x + 2 \right)}}=\frac{2x}{x+2}{\small.} \)
Ответ:\(\displaystyle \frac{2x}{x+2}{\small.}\)
Получив дробь \(\displaystyle \frac{2x(2x+1)}{2{\left( x + \dfrac{1}{2} \right ) \left( x + 2 \right)}} {\small,}\) можно было действовать и другим способом.
Все линейные множители в знаменателе – с коэфициентом \(\displaystyle 1{\small}\) при переменной \(\displaystyle x{\small.}\)
Представим в таком виде множитель \(\displaystyle 2x+1{\small}\) в числителе.
Вынесем для этого множитель \(\displaystyle 2\) за скобку:
\(\displaystyle 2x+1=2{\left( x + \dfrac{1}{2} \right)}{\small.}\)
Теперь можем сократить дробь:
\(\displaystyle \frac{2x (2x+1)}{2 {\left( x + \dfrac{1}{2} \right ) \left( x + 2 \right)}}=\frac{2x\cdot \blue{2 }\color {blue} {\left( x + \dfrac{1}{2} \right )}}{\blue{2 }{\color {blue}{\left( x + \dfrac{1}{2} \right )} \left( x + 2 \right)}}=\frac{2x}{x+2}{\small.} \)