Теория: Решение заданий с применением разложения квадратного трёхчлена на множители

Чтобы разложить квадратный трехчлен \(\displaystyle {3x^2+4x+1}\) на множители, запишем соответствующее квадратное уравнение
 

\(\displaystyle {3x^2+4x+1}=0\)

и найдём его корни.

Вычислим дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= 4^2-4\cdot 3\cdot 1=16-12=4{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{4}=2{\small .} \)

Значит, корни уравнения:

\(\displaystyle x_1= \frac{-4+2}{2\cdot 3}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}{ \small ,}\)
 

\(\displaystyle x_2= \frac{-4-2}{2\cdot 3}=\frac{-6}{6}=-1{\small .}\)

Получаем следующее разложение квадратного трёхчлена на линейные множители:
 

\(\displaystyle \red {3}x^2+4x+1 = \color{Red}{3} \left( x - \left(-\frac{1}{3} \right )\right) \left( x - (-1) \right) = 3 \left( x + \frac{1}{3} \right) \left( x + 1 \right) {\small .} \)

Чтобы разложить квадратный трехчлен \(\displaystyle 2+5x-3x^2\) на множители, запишем соответствующее квадратное уравнение

\(\displaystyle 2+5x-3x^2=0\)

и найдём его корни.

Запишем сначала все одночлены в порядке убывания степеней переменной:

\(\displaystyle -3x^2+5x+2=0{\small .}\)

Умножим на \(\displaystyle -1 \) обе части уравнения:

\(\displaystyle 3x^2-5x-2=0{\small .}\)

Вычислим дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D} = (-5)^2-4\cdot 3\cdot (-2) = 25+24 = 49{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \sqrt{\rm D} = \sqrt{49} = 7 {\small .} \)

Значит, корни уравнения:

\(\displaystyle x_1= \frac{-(-5) -7}{2\cdot 3}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}{\small .}\)

\(\displaystyle x_2= \frac{-(-5) + 7}{2\cdot 3}=\frac{12}{6}=2{ \small ,}\)

Получаем следующее разложение квадратного трёхчлена на линейные множители:
 

\(\displaystyle \red {-3}x^2 + 4x +1 = \color{Red}{-3} \left( x - \left(-\frac{1}{3} \right )\right)\left( x - 2 \right) = {-3}\left( x + \frac{1}{3} \right) \left( x - 2 \right) {\small .} \)