Skip to main content

Теория: Свойства-1. Углы

Задание

Диагонали \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) прямоугольника \(\displaystyle ABCD\) пересекаются в точке \(\displaystyle O{\small,}\) угол \(\displaystyle ABD\) больше угла \(\displaystyle CBD\) на \(\displaystyle 20^{\circ}{\small.}\) Найдите углы треугольника \(\displaystyle AOD{\small.}\)

\(\displaystyle \angle AOD=\) \(\displaystyle ^{\circ}{\small,}\)   \(\displaystyle \angle OAD=\) \(\displaystyle ^{\circ}{\small,}\)   \(\displaystyle \angle ODA=\) \(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – прямоугольник.

\(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей.

Пусть 

\(\displaystyle \angle CBD=\color{blue}{\alpha}{\small.}\)

Тогда по условию

\(\displaystyle \angle ABD=\color{blue}{\alpha}+20^{\circ}{\small.}\)

Требуется найти углы  треугольника \(\displaystyle AOD{\small.}\)

 

\(\displaystyle 1{\small.}\) Найдём значение \(\displaystyle \color{blue}{\alpha}{\small.}\)

В прямоугольнике \(\displaystyle ABCD{\small:}\)

\(\displaystyle \color{green}{\angle ABD}+\color{blue}{\angle CBD}=\angle ABC{\small.}\)

Подставим

  •  \(\displaystyle \color{green}{\angle ABD}=\color{blue}{\alpha}+20^{\circ}{\small,}\) 
  • \(\displaystyle \color{blue}{\angle CAD}=\color{blue}{\alpha}{\small,}\) 
  • \(\displaystyle \angle ABC=90^{\circ}{\small.}\)

Получаем

\(\displaystyle \color{blue}{\alpha}+20^{\circ}+\color{blue}{\alpha}=90^{\circ}{\small.}\)

Решим уравнение и найдём \(\displaystyle \color{blue}{\alpha}{\small:}\)

\(\displaystyle 2 \cdot \color{blue}{\alpha}=70{\small;}\)

\(\displaystyle \color{blue}{\alpha}=35{\small.}\)

\(\displaystyle 2{\small.}\) Найдём углы треугольника \(\displaystyle AOD{\small.}\)

В прямоугольнике противоположные стороны попарно параллельны.

Тогда

\(\displaystyle \angle BDA=\angle CBD\) 

как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) и секущей \(\displaystyle BD{\small.}\)

То есть   \(\displaystyle \angle ODA=35^{\circ}{\small.}\) 

 

Свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

По свойству прямоугольника

\(\displaystyle OA=OD{\small.}\)

Следовательно, треугольник \(\displaystyle AOD\) – равнобедренный.

  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит,

 \(\displaystyle \angle OAD=\angle ODA=35^{\circ}{\small.}\) 

  • Сумма внутренних углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small.}\) Значит,

 \(\displaystyle \angle AOD=180^{\circ}-(\angle OAD+\angle ODA){\small.}\)  

 

\(\displaystyle \angle AOD=180^{\circ}-(35^{\circ}+35^{\circ})=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \angle AOD=110^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle \angle OAD=35^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle \angle ODA=35^{\circ}{\small.}\)