Skip to main content

Теория: Свойства-1. Углы

Задание

В прямоугольнике \(\displaystyle ABCD\) \(\displaystyle AB<BC{\small,}\) биссектриса угла \(\displaystyle A\) образует с диагональю \(\displaystyle BD\) углы, один из которых равен \(\displaystyle 105^{\circ}{\small.}\) Найдите меньший угол между диагоналями данного прямоугольника.

\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)

Решение

По условию задачи выполним построение.

\(\displaystyle ABCD\) – прямоугольник.

  • \(\displaystyle AB<BC{\small;}\)
  • \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD{\small;}\)
  • \(\displaystyle AL\) – биссектриса угла \(\displaystyle A{\small;}\)
  • \(\displaystyle K\) – точка пересечения \(\displaystyle AL\) и \(\displaystyle BD{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle AKD=105^{\circ}{\small.}\)

Требуется найти меньший угол между диагоналями данного прямоугольника, то есть угол \(\displaystyle COD{\small.}\)

 

\(\displaystyle 1{\small.}\) Найдём угол между диагональю \(\displaystyle BD\) и стороной \(\displaystyle AD{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle AKD{\small.}\)

  • \(\displaystyle \angle AKD=105^{\circ}\) – по условию;
  • \(\displaystyle \angle DAK=45^{\circ}{\small,}\) так как биссектриса \(\displaystyle AL\) делит прямой угол \(\displaystyle A\) пополам.

 

Сумма внутренних углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle \angle ADK=180^{\circ}-(\angle AKD+\angle DAK){\small;}\)

\(\displaystyle \angle ADK=180^{\circ}-(105^{\circ}+45^{\circ})=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}{\small.}\)

\(\displaystyle 2{\small.}\) Найдём угол \(\displaystyle COD{\small.}\)

Свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

По свойству прямоугольника

\(\displaystyle OA=OD{\small.}\)

 

Рассмотрим равнобедренный треугольник \(\displaystyle AOD{\small.}\)

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Значит,

 \(\displaystyle \angle OAD=\angle ODA=30^{\circ}{\small.}\) 

 

Правило

Теорема о внешнем угле треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

\(\displaystyle \angle COD\) – внешний угол треугольникa \(\displaystyle AOD{\small.}\) Следовательно,

\(\displaystyle \angle COD=\angle OAD+\angle ODA{\small;}\)

\(\displaystyle \angle COD=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}{\small.}\)

Меньший угол между диагоналями данного прямоугольника равен \(\displaystyle 60^{\circ}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 60^{\circ}{\small.}\)