Найдите \(\displaystyle \tg\color{red}{\alpha}\small,\) если \(\displaystyle \sin\color{red}{\alpha}=\frac{15}{17}\) и \(\displaystyle 90º<\color{red}{\alpha}<180º\small.\)
\(\displaystyle \tg\color{red}{\alpha}=\)
Так как \(\displaystyle \tg \color{red}{\alpha}=\frac{\sin \color{red}{\alpha}}{\cos \color{red}{\alpha}}\) и дано значение синуса, \(\displaystyle \sin \alpha = \frac{15}{17}, \) то надо найти значение \(\displaystyle \cos \color{red}{\alpha}\small.\)
Основное тригонометрическое тождество
Для любого \(\displaystyle 0^{\circ}<\color{red}{\alpha}<180^{\circ}\) верно:
\(\displaystyle \cos^2\color{red}{\alpha}+\sin^{2}\color{red}{\alpha}=1\small.\)
Тогда
\(\displaystyle \cos^2\color{red}{\alpha}=1-\sin^{2}\color{red}{\alpha}\small.\)
Подставляя \(\displaystyle \sin\color{red}{\alpha}=\frac{15}{17}\small,\) получаем:
\(\displaystyle \cos^2\color{red}{\alpha}=1-\sin^{2}\color{red}{\alpha}=1-\left(\frac{15}{17}\right)^2=1-\frac{225}{289}=\frac{64}{289}\small.\)
Поскольку \(\displaystyle \sqrt{\frac{64}{289}}=\frac{8}{17}\small,\) то
\(\displaystyle \cos\color{red}{\alpha}=\frac{8}{17}\) или \(\displaystyle \cos\color{red}{\alpha}=-\frac{8}{17}\small.\)
Угол \(\displaystyle \color{red}{\alpha}\) лежит в промежутке от \(\displaystyle 90^{\circ}\) до \(\displaystyle 180^{\circ\small.}\) То есть он тупой. Значит, \(\displaystyle \cos\color{red}{\alpha}\) отрицательный:
\(\displaystyle \cos\color{red}{\alpha}=-\frac{8}{17}\small.\)
Тогда
\(\displaystyle \tg\color{red}{\alpha}=-\frac{15}{17}:\frac{8}{17}=-\frac{15}{\cancel{17}}\cdot \frac{\cancel{17}}{8}=-\frac{15}{8}=-1{,}875.\)
Ответ:\(\displaystyle \tg\color{red}{\alpha}=-1{,}875.\)