Skip to main content

Теория: 10 Практическое приложение подобия треугольников

Задание

На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом \(\displaystyle 1{,}8\)м, если длина его тени равна \(\displaystyle 9\)м, высота фонаря \(\displaystyle 5\)м \(\displaystyle ? \)

Решение

Пусть \(\displaystyle \red{ x}\) – расстояние от человека до фонаря.

Изобразим предложенную в задаче конструкцию в виде прямоугольных треугольников

\(\displaystyle ABC \) и \(\displaystyle DBH\small, \) в которых:

  • точка \(\displaystyle D\) лежит на \(\displaystyle AB\small, \) точка \(\displaystyle H\) лежит на \(\displaystyle BC\small, \)
  • \(\displaystyle \angle ACB =90^{\circ} \small, \) \(\displaystyle \angle DHB =90^{\circ} \small, \)
  • \(\displaystyle CH=\red{x} \small, \) \(\displaystyle BH=9 \small, \) \(\displaystyle AC=5 \small, \) \(\displaystyle DH=1{,}8 \small. \)

По условию задачи нужно найти длину \(\displaystyle CH \small. \)

\(\displaystyle CH=BC-BH \small, \)

\(\displaystyle \red{x}=BC-9 \small. \)

Необходимо найти  \(\displaystyle BC \small. \)


Рассмотрим треугольники \(\displaystyle ABC \) и \(\displaystyle DBH\small. \)

Так как 

  • \(\displaystyle \angle ACB =\angle DHB =90^{\circ} \small, \) 
  • \(\displaystyle \angle B \) – общий,

то треугольники \(\displaystyle ABC \) и \(\displaystyle DBH\) подобны по двум углам.

 

Тогда

\(\displaystyle \frac{AC}{DH}=\frac{BC}{BH} \small. \)

Найдём \(\displaystyle BC \small: \) 

\(\displaystyle BC= \frac{AC \cdot BH}{DH} \small, \\ \)

\(\displaystyle BC= \frac{5 \cdot 9}{1{,}8}=25 \small.\)

Получаем

\(\displaystyle \red{x}= BC-9=25-9=16 \small.\)

Расстояние от человека до фонаря равно \(\displaystyle 16\) метров.

Ответ: \(\displaystyle 16 \small. \)