Skip to main content

Теория: 10 Практическое приложение подобия треугольников

Задание

На рисунке изображен колодец с "журавлём". Короткое плечо имеет длину \(\displaystyle 4\)м, а длинное плечо – \(\displaystyle 6\)м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на \(\displaystyle 1\)м?

Решение

Изобразим предложенную в задаче конструкцию схематично:

  • отрезок \(\displaystyle AB\) – "журавль",
  • \(\displaystyle O\) – точка крепления "журавля" к опоре,
  • \(\displaystyle OA\) и \(\displaystyle OB\) – короткое и длинное плечо "журавля" соответственно.

При поднятии короткого плеча:

  • начальная точка \(\displaystyle A\) переместится в точку \(\displaystyle A_1\) по дуге окружности с центром в точке \(\displaystyle O\) и радиуса \(\displaystyle 4\small,\)
  • начальная точка \(\displaystyle B\) переместится в точку \(\displaystyle B_1\) по дуге окружности с центром в точке \(\displaystyle O\) и радиуса \(\displaystyle 6 \small.\)

 

Построим геометрическую модель данной задачи.

    Пусть

    • \(\displaystyle \Delta h_1\)– изменение высоты конца короткого плеча при поднятии,
    • \(\displaystyle \Delta h_2\)– изменение высоты конца длинного плеча при опускании,
    • отрезок \(\displaystyle AB \) – начальное положение "журавля",
    • отрезок \(\displaystyle A_1B_1 \) – конечное положение "журавля".

    Проведем через точки \(\displaystyle A,\,A_1\) и \(\displaystyle B,\,B_1\) прямые \(\displaystyle \color{darkcyan}{a}, \, \color{darkcyan}{a_1}\) и \(\displaystyle \color{darkcyan}{b}, \, \color{darkcyan}{b_1}\small, \) параллельные основанию.

    Построенные параллельные прямые отображают уровни высот соответствующих точек.

     

     

      Воспользуемся известным фактом из физики:

      Правило

      \(\displaystyle \frac{\Delta h_2}{\Delta h_1}=\frac{l_2}{l_1} \small, \)

      где \(\displaystyle l_1\) и \(\displaystyle l_2\) – длины плеч рычага,

      \(\displaystyle \Delta h_1\) и \(\displaystyle \Delta h_2\) – изменение высот концов соответствующих плеч рычага.

      По условию задачи:

      •  короткое плечо \(\displaystyle OA=4\)м, то есть \(\displaystyle l_1=4\small,\) 
      • длинное плечо \(\displaystyle OB=6\)м, то есть \(\displaystyle l_2=6\small,\)
      • короткое плечо поднялось на высоту \(\displaystyle \Delta h_1=1\)м,
      • длинное плечо опустилось на высоту \(\displaystyle \Delta h_2=\color{red}{h}\)м.

      Тогда

      \(\displaystyle \frac{\Delta h_2}{\Delta h_1}=\frac{l_2}{l_1} \small,\\ \)

      \(\displaystyle \frac{\color{red}{h}}{1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \small.\)

      Значит,

      \(\displaystyle \color{red}{h}= 1{,}5\small. \)

      Конец длинного плеча опустится на \(\displaystyle 1{,}5\) метра.

      Ответ: \(\displaystyle 1{,}5 \small. \)