Из точки \(\displaystyle A\) вне окружности проведены секущая и касательная. Секущая пересекает окружность в точках \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D\) \(\displaystyle (D\) между \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C){\small,}\) касательная касается окружности в точке \(\displaystyle B{\small.}\) Найдите градусную меру угла \(\displaystyle BDC{\small,}\) если \(\displaystyle \angle BAC=61^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle \angle BCD=33^{\circ}{\small.}\)
\(\displaystyle \angle BDC=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)
На рисунке обозначим известные измерения:
 |
Требуется найти градусную меру угла \(\displaystyle BDC{\small.}\) |
\(\displaystyle \angle BDC\) – это вписанный угол окружности, опирающийся на дугу \(\displaystyle BC{\small,}\) следовательно,
\(\displaystyle \angle BDC=\frac{1}{2}{\small \smile}BC{\small.}\)
Определим градусную меру дуги \(\displaystyle BC{\small.}\)
Заметим, что \(\displaystyle \angle BAC\) – это угол между касательной \(\displaystyle AB\) и секущей \(\displaystyle AC{\small,}\) между которыми заключены дуги \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle BC{\small.}\) Следовательно,
\(\displaystyle \angle BAC=\frac{{\small \smile}BC-{\small \smile}BD}{2}{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle {\small \smile}BC={\small \smile}BD+2 \cdot \angle BAC{\small.}\)
\(\displaystyle {\small \smile}BD=66^{\circ}{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle {\small \smile}BC=66^{\circ}+2 \cdot 61^{\circ}=66^{\circ}+122^{\circ}=188^{\circ}{\small.} \)
Найдём градусную меру угла \(\displaystyle BDC{\small.}\)
\(\displaystyle \angle BDC=\frac{1}{2}{\small \smile}BC=\frac{1}{2} \cdot 188^{\circ}=94^{\circ}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \angle BDC=94^{\circ}{\small.}\)