Из точки \(\displaystyle A\) вне окружности проведены секущая и касательная. Секущая пересекает окружность в точках \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D\) \(\displaystyle (D\) между \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C){\small,}\) касательная касается окружности в точке \(\displaystyle B{\small.}\) Найдите градусную меру угла \(\displaystyle ABD{\small,}\) если \(\displaystyle \angle BAC=32^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}BD:{\small \smile}BC=5:9{\small.}\)
\(\displaystyle \angle ABD=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)
На рисунке обозначим известные измерения:
 |
\(\displaystyle {\small \smile}BD=5t{\small,}\) \(\displaystyle {\small \smile}BC=9t{\small.}\) Требуется найти градусную меру угла \(\displaystyle ABD{\small.}\) |
\(\displaystyle \angle ABD\) – это угол между касательной \(\displaystyle AB\) и хордой \(\displaystyle BD\) окружности, проведёнными в точке \(\displaystyle B{\small.}\)
\(\displaystyle \angle ABD=\frac{1}{2}{\small \smile}BD{\small.}\)
Определим градусную меру дуги \(\displaystyle BD{\small.}\)
Заметим, что \(\displaystyle \angle BAC\) – это угол между касательной \(\displaystyle AB\) и секущей \(\displaystyle AC{\small,}\) между которыми заключены дуги \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle BC{\small.}\) Следовательно,
\(\displaystyle \angle BAC=\frac{{\small \smile}BC-{\small \smile}BD}{2}{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle 32^{\circ}=\frac{9t-5t}{2}{\small;}\)
\(\displaystyle 32^{\circ}=2t{\small;}\)
\(\displaystyle t=16^{\circ}{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle BD=5t=5 \cdot 16^{\circ}=80^{\circ}{\small.}\)
Найдём градусную меру угла \(\displaystyle ABD{\small.}\)
\(\displaystyle \angle ABD=\frac{1}{2}{\small \smile}BD=\frac{1}{2} \cdot 80^{\circ}=40^{\circ}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \angle ABD=40^{\circ}{\small.}\)