Skip to main content

Теория: 07 Угол между касательной и секущей окружности

Задание

Угол \(\displaystyle ACO\) равен \(\displaystyle 24^{\circ}{\small,}\) причем окружность с центром в точке \(\displaystyle O\) касается луча \(\displaystyle CA\) в точке \(\displaystyle A{\small.}\) Найдите градусную меру угла \(\displaystyle ABO{\small,}\) где \(\displaystyle B\) – точка пересечения луча \(\displaystyle CO\) и окружности, лежащая внутри отрезка \(\displaystyle CO{\small.}\)

\(\displaystyle \angle ABO=\)\(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)

Решение

На рисунке обозначим известные измерения:

  • \(\displaystyle AO\) – секущая, пересекает окружность в точках \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle D\) \(\displaystyle (B\) между \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D){\small;}\)
  • \(\displaystyle CA\) – касательная, \(\displaystyle A\) – точка касания;
  • \(\displaystyle \angle ACO=24^{\circ}{\small.}\)

Требуется найти градусную меру угла \(\displaystyle ABO{\small.}\)

 

Угол \(\displaystyle ABO\) совпадает с углом \(\displaystyle ABD{\small.}\)

\(\displaystyle \angle ABD\) – это вписанный угол окружности, опирающийся на дугу \(\displaystyle AD{\small.}\) Следовательно,

\(\displaystyle \angle ABD=\frac{1}{2}{\small \smile}AD{\small.}\)

\(\displaystyle {\small \smile}AD=180^{\circ}-{\small \smile}AB{\small.}\)

Определим градусную меру дуги \(\displaystyle AB{\small.}\)

Выполним дополнительное построение:

проведём радиус \(\displaystyle OA{\small.}\)

Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит,

\(\displaystyle \angle OAC=90^{\circ}{\small.}\)

 

\(\displaystyle \angle AOB\) – это центральный угол окружности, опирающийся на дугу \(\displaystyle AB{\small.}\) Следовательно,

\(\displaystyle {\small \smile}AB=\angle AOB{\small.}\)

\(\displaystyle \angle AOB=66^{\circ}{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle {\small \smile}AB=66^{\circ}{\small.}\)

 

Определим градусную меру дуги \(\displaystyle AD{\small.}\)

\(\displaystyle {\small \smile}AD=180^{\circ}-{\small \smile}AB=180^{\circ}-66^{\circ}=114^{\circ}{\small.}\)

 

Определим градусную меру угла \(\displaystyle ABO{\small.}\)

\(\displaystyle \angle ABD=\frac{1}{2}{\small \smile}AD=\frac{1}{2} \cdot 114^{\circ}=57^{\circ} {\small.}\)

То есть

\(\displaystyle \angle ABO=\angle ABD=57^{\circ} {\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle \angle ABO=57^{\circ}{\small.}\)