Skip to main content

Теория: Признак и свойства (короткая версия)

Задание

Прямая, параллельная стороне \(\displaystyle AC\) треугольника \(\displaystyle ABC{\small,}\) пересекает стороны \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC\) в точках \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) соответственно. Известно, что \(\displaystyle AB=10{\small,}\) \(\displaystyle BC=6{\small,}\)\(\displaystyle AC=8{\small,}\) \(\displaystyle MN=4{\small.}\) Найдите периметр четырёхугольника \(\displaystyle AMNC{\small.}\)

\(\displaystyle P_{AMNC}=\)

Решение

\(\displaystyle ABC\) – треугольник:

  • \(\displaystyle AB=10{\small;}\) 
  • \(\displaystyle BC=6{\small;}\) 
  • \(\displaystyle AC=8{\small.}\)

Прямая \(\displaystyle MN\) параллельна \(\displaystyle AC{\small.}\)

  • \(\displaystyle MN=4{\small.}\)

Требуется найти периметр четырёхугольника \(\displaystyle AMNC{\small.}\)

 

Периметр четырёхугольника равен сумме длин всех его сторон, то есть

\(\displaystyle P_{AMNC}=AM+MN+NC+AC{\small;}\)

\(\displaystyle P_{AMNC}=AM+4+NC+8=AM+NC+12{\small.}\)

 

Найдём длины отрезков \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle NC{\small.}\)

Так как отрезок \(\displaystyle MN\) параллелен стороне \(\displaystyle AC\) и равен половине этой стороны, то

\(\displaystyle MN\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Следовательно,

  • точка \(\displaystyle M\) – середина стороны \(\displaystyle AB{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle AM=\frac{1}{2} \cdot AB{\small;}\)

\(\displaystyle AM=\frac{1}{2} \cdot 10=5{\small.}\)

  • точка \(\displaystyle N\) – середина стороны \(\displaystyle BC{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle NC=\frac{1}{2} \cdot BC{\small;}\)

\(\displaystyle NC=\frac{1}{2} \cdot 6=3{\small.}\)

 

Подставим \(\displaystyle AM=5\) и \(\displaystyle NC=3\) в формулу периметра:

\(\displaystyle P_{AMNC}=AM+NC+12=5+3+12=20{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle P_{AMNC}=20{\small.}\)