Skip to main content

Теория: Признак и свойства (короткая версия)

Задание

На сторонах \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BC\) треугольника \(\displaystyle ABC\) построены квадраты \(\displaystyle ACDE\) и \(\displaystyle BCGF\) соответственно. Найдите расстояние от середины стороны \(\displaystyle AB\) до точки пересечения диагоналей квадрата \(\displaystyle ACDE{\small,}\) если расстояние от середины стороны \(\displaystyle AB\) до точки пересечения диагоналей второго квадрата равно \(\displaystyle 8{\small.}\)

Решение
  • \(\displaystyle ABC\) – треугольник;
  • \(\displaystyle M\) – середина стороны \(\displaystyle AB{\small;}\)
  • \(\displaystyle ACDE\) – квадрат;
  • \(\displaystyle N\) – точка пересечения диагоналей квадрата \(\displaystyle ACDE{\small;}\)
  • \(\displaystyle BCGF\) – квадрат;
  • \(\displaystyle L\) – точка пересечения диагоналей квадрата \(\displaystyle BCGF{\small;}\)
  • \(\displaystyle ML=8{\small.}\)

 

Требуется найти длину отрезка \(\displaystyle MN{\small.}\)

 

    Выполним дополнительное построение.

    Проведём отрезки \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle AG{\small.}\)

     

    Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, значит, 

    • \(\displaystyle N\) – середина \(\displaystyle AD{\small,}\) то есть

    \(\displaystyle AN=ND{\small;}\)

    • \(\displaystyle L\) – середина \(\displaystyle BG{\small,}\) то есть

    \(\displaystyle BL=LG{\small.}\)

    \(\displaystyle MN=\frac{1}{2} \cdot BD{\small.}\)

    \(\displaystyle AG=16{\small.}\)

    \(\displaystyle BD=16{\small.}\)

    Рассмотрим треугольники \(\displaystyle BCD\) и \(\displaystyle ACG{\small.}\)

    Заметим, что

    \(\displaystyle \angle BCD=\angle ACB+\angle ACD=\angle ACB +90^{\circ}\)

    и

    \(\displaystyle \angle ACG=\angle ACB+\angle BCG=\angle ACB +90^{\circ}{\small,}\)

    значит,

    \(\displaystyle \angle BCD=\angle ACG{\small.}\)

     

     

    Треугольники \(\displaystyle BCD\) и \(\displaystyle ACG\) равны по двум сторонам и углу между ними:

    • \(\displaystyle CB=CG\) – стороны квадрата \(\displaystyle BCGF{\small;}\)
    • \(\displaystyle CD=CA\) – стороны квадрата \(\displaystyle ACDE{\small;}\)
    • \(\displaystyle \angle BCD=\angle ACG{\small.}\)

    Следовательно,

    \(\displaystyle BD=AG=16{\small.}\)

    В результате получаем:

    \(\displaystyle MN=\frac{1}{2} \cdot BD=\frac{1}{2} \cdot 16=8{\small.}\)

    Ответ: \(\displaystyle 8{\small.}\)